Lebesgue-Stieltjes Integral

Die Efficient Market Hypothesis (EMH) Weak Form postuliert, dass alle historischen Preisdaten in den aktuellen Marktpreisen enthalten sind. Das bedeutet, dass es unmöglich ist, durch die Analyse vergangener Preise, wie z.B. Trends oder Muster, systematisch überdurchschnittliche Renditen zu erzielen. Die Grundlage dieser Hypothese ist die Annahme, dass Marktteilnehmer rational handeln und alle verfügbaren Informationen sofort in die Preise einfließen.

Ein zentraler Aspekt der schwachen Form ist, dass technische Analyse, die sich auf historische Kursbewegungen stützt, keine überlegenen Ergebnisse liefert. Dies impliziert, dass Zufallsbewegungen der Preise den Markt dominieren und zukünftige Preisbewegungen nicht vorhersagbar sind. In mathematischen Begriffen kann man sagen, dass Preisänderungen $\Delta P_t$ unabhängig und identisch verteilt sind, was den Markt als effizient klassifiziert.

Ein Markov Blanket ist ein zentrales Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie und dem maschinellen Lernen, das die bedingte Unabhängigkeit von Variablen beschreibt. Es umfasst die minimalen Variablen, die benötigt werden, um alle Informationen über eine Zielvariable $X$ zu erfassen, sodass alle anderen Variablen in einem gegebenen Netzwerk unabhängig von $X$ sind, sobald die Variablen im Markov Blanket bekannt sind. Das Markov Blanket von $X$ besteht aus drei Gruppen von Variablen:

1. Eltern von $X$: Variablen, die direkt Einfluss auf $X$ haben.
2. Kinder von $X$: Variablen, die direkt von $X$ abhängen.
3. Andere Eltern von $X$'s Kindern: Variablen, die mit den Kindern von $X$ verbunden sind, jedoch nicht direkt mit $X$ selbst.

Durch die Identifikation des Markov Blankets kann man die Komplexität von probabilistischen Modellen reduzieren und effizientere Algorithmen zur Inferenz und zum Lernen entwickeln.

Lattice Reduction Algorithms sind Verfahren zur Optimierung der Struktur von Gittern (Lattices) in der Mathematik und Informatik. Ein Gitter ist eine diskrete Menge von Punkten in einem Raum, die durch lineare Kombinationen von Basisvektoren erzeugt werden. Ziel dieser Algorithmen ist es, eine Basis für das Gitter zu finden, die kürzere und näher beieinander liegende Vektoren enthält, was in vielen Anwendungen wie der kryptografischen Sicherheit und der Integer-Programmierung von Bedeutung ist. Zu den bekanntesten Algorithmen gehören der LLL-Algorithmus (Lenstra-Lenstra-Lovász) und der BKZ-Algorithmus (Block Korkin-Zolotarev), die beide die Basis unter Verwendung von orthogonalen Projektionen und Reduktionsschritten anpassen. Eine reduzierte Basis ermöglicht nicht nur eine effizientere Berechnung, sondern verbessert auch die Leistung bei der Lösung von Problemen wie dem Finden von ganzzahligen Lösungen oder der Faktorisierung von Zahlen.

Self-Supervised Contrastive Learning ist ein Ansatz im Bereich des maschinellen Lernens, der darauf abzielt, nützliche Repräsentationen von Daten zu lernen, ohne dass eine manuelle Beschriftung erforderlich ist. Dieser Ansatz basiert auf der Idee, dass ähnliche Datenpunkte näher zueinander im Repräsentationsraum angeordnet werden sollten, während unähnliche Datenpunkte weiter voneinander entfernt sein sollten. In der Praxis werden aus einem Bild beispielsweise mehrere Augmentierungen (z. B. verschiedene Transformationen) erstellt, und das Modell lernt, diese Augmentierungen als zusammengehörig zu betrachten.

Ein zentraler Bestandteil ist der Kontrastive Verlust, der typischerweise wie folgt formuliert wird:

Hierbei ist $\text{sim}(z_i, z_j)$ eine Ähnlichkeitsmessung zwischen den Repräsentationen $z_i$ und $z_j$, und $\tau$ ist ein Temperaturparameter, der die Schärfe des Kontrasts reguliert. Durch diesen Prozess ler

Plasmonic Metamaterials sind künstlich geschaffene Materialien, die einzigartige optische Eigenschaften aufweisen, die in der Natur nicht vorkommen. Sie nutzen die Wechselwirkung zwischen Licht und den kollektiven Schwingungen der Elektronen an der Oberfläche von Metallen, bekannt als Plasmonen. Diese Materialien können Licht bei Wellenlängen steuern, die kleiner als die Struktur selbst sind, was zu Phänomenen wie Superlensing und Holo-Optik führt. Plasmonic Metamaterials finden Anwendung in verschiedenen Bereichen, darunter die Sensorik, die Photovoltaik und die Nanophotonik. Eine der bemerkenswertesten Eigenschaften ist die Fähigkeit, elektromagnetische Wellen zu fokussieren und zu manipulieren, was die Entwicklung neuartiger Technologien ermöglicht, die über die Grenzen der klassischen Optik hinausgehen.

Der Feynman Propagator ist ein zentrales Konzept in der Quantenfeldtheorie, das die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass ein Teilchen von einem Punkt $x_1$ zu einem anderen Punkt $x_2$ übergeht. Mathematisch wird er oft als $G(x_1, x_2)$ dargestellt und ist definiert als die Fourier-Transformierte der Green'schen Funktion des zugrunde liegenden Feldes. Der Propagator berücksichtigt sowohl die relativistische als auch die quantenmechanische Natur von Teilchen und wird häufig in Berechnungen von Streuamplituden verwendet.

Die allgemeine Form des Feynman Propagators für ein skalaren Feld ist:

Hierbei ist $m$ die Masse des Teilchens und $\epsilon$ ein infinitesimal kleiner positiver Wert, der sicherstellt, dass der Propagator kausal ist. Der Feynman Propagator ermöglicht es Physikern, komplexe Wechselwirkungen zwischen Teilchen zu analysieren und zu berechnen, indem er die Beiträge verschiedener Pfade summiert und somit