klausur2

Bestimmen Sie (mit Beweis) die Menge der $n \in \mathbb{N}$, für die gilt
$n! \leq \left( \frac{1}{2} \right)^n$

Sei $a \in \mathbb{C}$. Bestimmen Sie die Menge
$Z = \{z \in \mathbb{C} \, | \, |z - a| = |1 - \overline{a}z|\}$ sowie
$\sup Z$ und $\inf |Z|$.
Hinweis: Unterscheiden Sie die Fälle $|a| = 1$ und $|a \neq 1$.

Seien $(a_l)_{l \in \mathbb{N}}, (b_l)_{l \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C}$ Folgen. Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage:
Falls $(a_l)$ konvergiert und $(b_l)$ beschränkt ist, konvergiert $(a_l b_l)$.

Untersuchen Sie, für welche $x \in \mathbb{R}$ die folgende Reihe konvergiert und ob
eventuell absolute Konvergenz vorliegt:
$\sum_{l=0}^{\infty} \frac{3^{l/3} \cdot x^l}{l!}$

Zeigen Sie, dass genau ein $x \in [0, 1]$ existiert mit
$1 - x^2 = exp(x - 1)$.

Untersuchen Sie die unten angegebenen Folgen in $\mathbb{C}$ auf Konvergenz und
b bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

Untersuchen Sie die rekursiv definierte Folge $(a_k)_{k \in \mathbb{N}}$ mit
$a_0 := \frac{1}{2}$ und $a_{k+1} = \frac{1}{2 - a_k}$ für alle $k \in \mathbb{N}$

Sei $a_k := \frac{2k}{\sum_{l=k+1}^{\infty} l}$.

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und Divergenz:

Für welche $a \in \mathbb{R}$ ist die Funktion
$f_a : [0, \pi] \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto \begin{cases} a \cdot x^2 & \text{falls } x \in [0, \frac{\pi}{2}] \\ \sin(2x) \cdot \cos(x) & \text{falls } x \in (\frac{\pi}{2}, \pi] \end{cases}$

Zeigen Sie, dass die Funktion
$f : [0, \infty[ \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto \sin(x) exp(-x)$

Zeigen Sie, dass die Funktion
$f : [0, \infty[ \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto exp(x) - sin(exp(-x))$