klausur3

Es sei $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$.
(a) Zeigen Sie mittels der binomischen Formel
$2^{2n} = \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k}$
(b) Folgern Sie: Die Anzahl der mindestens $(n + 1)$-elementigen Teilmengen einer $2n$-elementigen Menge ist gleich $\frac{2^{2n}}{\binom{2n}{n}}$

Zeigen Sie für alle $n \leq \mathbb{N} \setminus \{0\}$ und $z \in \mathbb{C}$
$\prod_{k=0}^{n-1} (1 + z^{2^k}) = \sum_{l=0}^{2n-1} z^{2^l}$.

Untersuchen Sie die unten angegebenen Folgen in $\mathbb{C}$ auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
(a) $a_k = \frac{-2k^4 + k^7}{(7k - k^2)(6k^2 - \sqrt{k})}$
(b) $b_k = cos(\frac{\pi}{k}) + \frac{-ik}{k}$

Untersuchen Sie die rekursiv definierte Folge $(a_k)_{k \in \mathbb{N}}$ mit
$a_0 := 0$ und $a_{k+1} = \frac{5}{8a_k^2 + 1}$ für alle $k \in \mathbb{N}$ auf Wohldefiniertheit, Konvergenz und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert.

Sei $(a_k)_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C} \setminus \{0\}$ eine gegen $a \in \mathbb{C} \setminus \{0\}$ konvergente Folge. Beweisen Sie:
$\sum_{k=0}^{\infty} |\frac{a_{k+1}}{a_k} - 1| < \infty$
$\sum_{k=0}^{\infty} |\frac{a_{k+1}}{a_k} - 1|^2 < \infty$

Für welche $x \in \mathbb{R}$ konvergiert folgende Reihe? Für welche $x$ konvergiert sie absolut?
$\sum_{l=0}^{\infty} (\frac{1}{l + 1}) (\frac{-x}{2})^l$

Zeigen Sie, dass für $x \in [0,1]$ die Reihe $(1 + \frac{1}{l}) (-x)^l$ konvergiert mit
$1 - 2x < \sum_{l=0}^{\infty} (1 + \frac{1}{l}) (-x)^l \leq 1 - 2x + 3x^2$.

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
(a) $lim_{x \to \infty} \frac{sinh(2x)}{exp(-x)}$
(b) $lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} cos(\frac{1}{x})$

Für welche $a \in \mathbb{R}$ ist die Funktion
$f_a : \mathbb{R} \to \mathbb{R} : x \mapsto \begin{cases} exp(-\frac{1}{x^2}) cos(x^2) & x \neq 0 \\ a & x = 0 \end{cases}$ stetig auf $\mathbb{R}$?

Zeigen Sie, dass die Gleichung
$\frac{x^2 + cos(y)}{cos(y)} = exp(-cos(y))$ genau eine Lösung im Intervall $]0, \pi[$ besitzt.

Zeigen Sie, dass die Funktion
$f : ]0, \infty[ \to \mathbb{R} : x \mapsto x^3 \cdot exp(-x)$ ein Maximum besitzt.

Zeigen Sie, dass die Funktion
$f : [0, \infty[ \to \mathbb{R} : x \mapsto ln(x + e) + cos(ln(x + e))$ injektiv ist, und bestimmen Sie ihr Bild $f([0, \infty[)$. Beweisen Sie weiterhin, dass die Umkehrfunktion
$f^{-1} : f([0, \infty[) \to [0, \infty[$ stetig ist.