analina_text (AI)

Bestimmen Sie den Grenzwert
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}$.

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen:
$f(x) := e^{x^2 + 1}$,
$g(x) := \ln(\cos(x))$

Berechnen Sie den Betrag und das Argument der komplexen Zahl $z := 2 + 2i$.

Geben Sie sowohl den Ansatz der reellen als auch den Ansatz der komplexen Partialbruchzerlegung für die Funktion
$h(x) := \frac{x^3 + 2x + 1}{(x-1)^2(x^2 + 1)}$ an. Die Koeffizienten müssen dabei nicht bestimmt werden.

Zeigen Sie, dass die Funktion $f$ an der Stelle $x = 0$ stetig ist.

Untersuchen Sie, ob die Funktion an der Stelle $x = 0$ auch differenzierbar ist und geben Sie in diesem Fall die Ableitung $f'(0)$ an.

Bestimmen Sie alle Nullstellen von $f(z)$.

Zeigen Sie, dass $f(z)$ keine reellen Nullstellen hat.

Berechnen Sie den Betrag $|f(1 + i)|$.

$\int \frac{x}{x^2 + 1} dx$

$\int x \sin(x^2) dx$

Bestimmen Sie den Definitionsbereich von $f$.

Bestimmen Sie die Nullstellen von $f$.

Bestimmen Sie die Asymptoten von $f$.

Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen von $f$.

Zeigen Sie mithilfe der vollständigen Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen $n \geq 1$ gilt:
$\sum_{k=1}^n k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$.

Wenden Sie den Mittelwertsatz auf die Funktion $f(x) = \ln(x)$ im Intervall $[1, e^2]$ an, um zu zeigen, dass $\ln(e^2) \leq 2$.