exam-2020

Betrachten Sie die Menge $M := \{n \in \mathbb{N} : n \ge 2\} = \{1,2,3,...\}$. Bestimmen Sie:
sup $M$ =
min $M$ =

Bestimmen Sie den Grenzwert:
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+7x^2)}{3x^2}$ =

Bestimmen Sie den Grenzwert:
$\lim_{n \to \infty} n \sin(\frac{3}{n})$ =

Bestimmen Sie die folgende Menge $M$:
M = {a \in \mathbb{R} : \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 \sin(na) + 5 \cos(n^2a)}{n^2} konvergiert}.
$M$ =

Bestimmen Sie die folgende Menge $M$:
M = {x \in \mathbb{R} : \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n!} x^n konvergiert}.
Bestimmen Sie im Konvergenzfall den Wert der Reihe $S(x)$.
$M$ =
$S(x)$ =

Bestimmen Sie $A = \{z \in \mathbb{C} : z = |z|^2\}$.
$A$ =

Sei $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $f(x, y) = \sin(3x^2y)$. Bestimmen Sie:
$\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}$ =
$\frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial y \partial x}$ =

Es sei
$f(x) = (2x^2 - 3x + 7) \ln(\ln(x^2)) + (3x - 2)^4 \ln x - (53x + 2)(2x^2 + 4)(\ln x)^2$.
Finden Sie eine Funktion $g$ der Form $g(x) = ax^b (\ln x)^c$ oder $g(x) = ax \ln(\ln x)$ mit geeigneten Konstanten $a, b, c \in \mathbb{R}$ sodass
$\sim$
$f(x) = g(x)$
für $x \to \infty$,
d.h. $f(x)$ und $g(x)$ asymptotisch gleich für $x \to \infty$.
$g(x)$ =

Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion der im Bild dargestellten Funktion:

Geben Sie für alle $x \in \mathbb{R}$ die Taylorreihe von $e^x$ um 0 an. Bei dieser Teilaufgabe wird nur das Ergebnis bewertet.
$e^x$ =

Geben Sie den Mittelwertsatz der Differentialrechung an.

Berechnen Sie das folgende Integral: $\int_0^4 te^{-5t} dt.$

Entscheiden Sie, ob das folgende unbestimmte Integral konvergiert. Im Konvergenzfall berechnen Sie seinen Wert. $\int_0^{\infty} \min(x^2, \frac{1}{x^4}) dx$