Sommer 2013

Betrachtet wird ein zweidimensionaler stetiger Zufallsvektor X = (X1, X2)T. Unter welchen der nachfolgend genannten (sich gegenseitig ausschließenden) Eigenschaften erhält man die Unabhängigkeit der beiden Zufallsvariablen X₁ und X₂?
Hinweis: Die nachfolgenden Eigenschaften sind separat zu betrachten und sind somit nicht miteinander kombinierbar.

Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable X mit nachfolgender Dichtefunktion.
$f_X(x): \begin{cases} \frac{6}{a^2}(x^2-1) & für x \in [0, a] \\ 0 & sonst \end{cases}$
Für nachfolgenden Datensatz berechne man mittels Maximum-Likelihood-Methode einen Schätzer für den unbekannten Parameter a > 0.
$\begin{array}{c|c} i & X_i \\ \hline 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ \vdots & \vdots \\ 12 & 0 \end{array}$
Rundung: Runden Sie Ihre Ergebnisse auf vier Nachkommastellen.

Aus einer normalverteilten Grundgesamtheit wird eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe vom Umfang n = 25 gezogen. Dabei resultierten nachfolgende Ergebnisse:
$\sum_{i=1}^{25} a_i = 275$
$\sum_{i=1}^{25} y_i^2 = 63025$
Berechnen Sie ein 95%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert der Grundgesamtheit.
Rundung: Runden Sie Ihre Ergebnisse auf vier Nachkommastellen.

Gegeben seien zwei unabhängige normalverteilte Grundgesamtheiten. Aus der ersten Grundgesamtheit wird eine Stichprobe (xi) vom Umfang m = 41 gezogen und aus der zweiten Grundgesamtheit eine Stichprobe (yi) vom Umfang n = 15. Es resultierten folgende Ergebnisse:

$41$
$x = 22$
$Σ (xi - x)² = 9000$
$i=1$

$15$
$E gi=330$
$i=1$

$15$
$Σ yi = 9570$
$i=1$

Überprüfen Sie auf dem 5%-Signifikanzniveau die Nullhypothese, dass die Varianzen in beiden Grundgesamtheiten identisch sind.
Hinweis: Formulieren Sie Null- und Alternativhypothese, führen Sie den Test durch und geben Sie die Testentscheidung an.
Rundung: Runden Sie Ihre Ergebnisse auf vier Nachkommastellen.

Es soll untersucht werden, ob eine bestimmte Grundgesamtheit als Poisson-verteilt angesehen werden kann. Eine Stichprobe vom Umfang n = 60 lieferte:

$x; 0 1 2 3 4$
$ni 5 16 21 10 8$

Führen Sie einen x²-Anpassungstest auf einem 5%-Signifikanzniveau durch und begründen Sie Ihr Vorgehen.
Hinweise:
• Schätzen Sie unbekannte Parameter mittels Momentenmethode.
⚫ Eine Poisson-verteilte Zufallsvariable X besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion

$(A > 0)$
$P(X = x) = \frac{λ^x}{x!} e^{-λ}$
für x = 0, 1, 2, 3, ...
sowie nachfolgenden Erwartungswert und Varianz:

$E(X) = Var(X) = λ$

Rundung: Runden Sie Ihre Ergebnisse auf fünf Nachkommastellen.

Gegeben sei ein zweidimensionaler Zufallsvektor (X, Y) mit nachfolgender gemeinsamer Dichtefunktion:
$f(x,y): R^2 \rightarrow \{0, 1\},$
$(x, y) \rightarrow \begin{cases} \frac{1}{12} & falls 2 \leq x \leq 4 \wedge 3 \leq y \leq 6 \\ 0 & sonst \end{cases}$

Für einen bivariaten Datensatz, bestehend aus n = 30 Wertepaaren, seien nachfolgende Größen gegeben:

$30$
$Σ xi$
$i=1$
$= 360$
$Σ yi² = 7220$
$30$
$Σ yi$
$i=1$
$= 1080$
$30$
$Σ XiYi:$
$i=1$
$= 1200$

Es wird ein lineares Einfachregressionsmodell (siehe Vorlesung) zwischen X (unabhängige Variable) und Y (abhängige Variable) unterstellt.