Bearbeite 2020 Klasur und vergleiche deine Lösungen. Aus dem Kurs Aufbaumodul Statistik an der Universität zu Köln (Uni Köln).
In einem Supermarkt wird Biomilch von drei Erzeugern angeboten. 50% der Milchtüten stammen von Erzeuger A, 10% von B und 40% von C. Es ist bekannt, dass am Mindesthaltbarkeitsdatum bei sachgerechter Lagerung eine Tüte Milch von Erzeuger A mit Wahrscheinlichkeit 0.01, von Erzeuger B mit Wahrscheinlichkeit 0.05 und von Erzeuger C mit Wahrscheinlichkeit 0.1 sauer geworden ist.
Ein Kunde wählt zufällig eine Milchtüte aus und stellt sie in den eigenen Kühlschrank. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Milch in der gewählten Tüte am Mindesthaltbarkeitsdatum sauer ist? Sei A das Ereignis „Milch stammt von Erzeuger A“ und B und C entsprechend. Ferner sei S das Ereignis „Milch ist am Mindesthaltbarkeitsdatum sauer“. Mit den Angaben aus der Aufgabenstellung erhält man mit Hilfe des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit: P(S)=P(S∣A)⋅P(A)+P(S∣B)⋅P(B)+P(S∣C)⋅P(C)
Wenn eine Tüte Milch am Mindesthaltbarkeitsdatum nicht sauer ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt diese Milch von Erzeuger A? Mit dem Satz von Bayes erhält man unter Verwendung von a): P(A∣S)=P(S)P(S∣A)P(A)
Ein Kunde kauft fünf Milchtüten des Erzeugers B. Berechnen Sie unter der Annahme, dass die Haltbarkeitsdauern verschiedener Milchtüten stochastisch unabhängig sind, die Wahrscheinlichkeit, dass bei sachgerechter Lagerung höchstens drei Milchtüten am Mindesthaltbarkeitsdatum nicht sauer sind. Sei X die Anzahl saurer Milchtüten am Mindesthaltbarkeitsdatum. Unter den gegebenen Annahmen ist X∼B(n=5;π=0.05). Gesucht ist P(X≥2)=1−P(X≤1)=1−[0.7738+0.2036]=0.0226.
Eine Urne enthält 12 rote und 8 schwarze Kugeln. Es werden 6 Kugeln zufällig und mit
Zurücklegen entnommen. Betrachtet werde die Anzahl der roten Kugeln unter den 6
entnommenen Kugeln.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau vier rote Kugeln gezogen werden.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als vier rote Kugeln gezogen werden.
Verwenden Sie dabei unbedingt den Parameter lower.tail.
Bestimmen Sie den Median von X
Simulieren Sie eine Stichprobe vom Umfang 50 aus der angegebenen Verteilung (An-
zahl roter Kugeln unter den 6 entnommenen Kugeln), und speichern Sie diese in einen
Vektor x.
Nehmen Sie an, dass der Vektor x die simulierte Stichprobe aus Teil d) enthält. Be-
rechnen Sie für die Stichprobe in x die korrigierte Stichprobenstandardabweichung.
Die Jahresrenditen (in Prozent) RA und RB zweier Aktien A und B seien gemeinsam verteilt mit dem folgenden Erwartungswertvektor und der folgenden Kovarianzmatrix: E[RARB]=[615] und Cov[RARB]=[244410]. Ein Investor investiert 60% seines Anlagebetrags in die Aktien A und den Rest in die Aktien B.
Berechnen Sie den Erwartungswert der Jahresrendite des gesamten angelegten Kapitals. Die Gesamtrendite ist gegeben durch RG=0.6RA+0.4RB. Daher ist E[RG]=0.6E[RA]+0.4E[RB]=0.6⋅6+0.4⋅15=9.6.
Berechnen Sie die Standardabweichung der Jahresrendite des gesamten angelegten Kapitals. Für die Varianz der Gesamtrendite erhält man V[RG]=0.62V[RA]+0.42V[RB]+2.0.60.4Cov[RA,RB]
Sei Z eine stetige Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion FZ(z):⎩⎨⎧0,(z−5)4,1,fallsz≤5,falls5<z<6,fallsz>6.
Bestimmen Sie den Träger von Z.
Bestimmen Sie die Dichte von Z. Man erhält die Dichte durch Ableiten der Verteilungsfunktion. Für x € ]5; 6[ ist daher fZ(z)=4(z−5)3.
Berechnen Sie die Quantilfunktion von Z. Man mach den Ansatz FZ(zp)=p und löst nach (zp−5)4=p⇒zp=4p+5 auf: QZ(p)=4p+5 für pЄ [0, 1[.
Berechnen Sie P(Z≤5.6∣Z≥5.4). P(Z≤5.6∣Z≥5.4)=P(Z≥5.4)P(5.4≤Z≤5.6)=1−F(5.4)F(5.6)−F(5.4)=1−0.440.64−0.44=0.1067.