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Pagerank Algorithm

Der PageRank-Algorithmus ist ein Verfahren zur Bewertung der Wichtigkeit von Webseiten im Internet, das von den Gründern von Google, Larry Page und Sergey Brin, entwickelt wurde. Er basiert auf der Idee, dass die Wichtigkeit einer Webseite nicht nur durch den Inhalt, sondern auch durch die Anzahl und Qualität der eingehenden Links bestimmt wird. Der Algorithmus funktioniert folgendermaßen: Jede Webseite erhält einen bestimmten Rang, der proportional zur Menge der Links von anderen Seiten ist, die auf sie verweisen.

Mathematisch lässt sich dies durch die folgende Formel darstellen:

PR(A)=(1−d)+d∑i=1nPR(Bi)C(Bi)PR(A) = (1 - d) + d \sum_{i=1}^{n} \frac{PR(B_i)}{C(B_i)}PR(A)=(1−d)+di=1∑n​C(Bi​)PR(Bi​)​

Hierbei ist PR(A)PR(A)PR(A) der PageRank der Seite AAA, ddd ein Dämpfungsfaktor (typischerweise etwa 0.85), BiB_iBi​ sind die Seiten, die auf AAA verlinken, und C(Bi)C(B_i)C(Bi​) ist die Anzahl der ausgehenden Links von BiB_iBi​. Der Algorithmus iteriert, bis sich die Werte stabilisieren, wodurch er eine Rangliste der Webseiten liefert, die für Suchanfragen von Bedeutung sind.

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Trie-basierte Indizierung

Trie-Based Indexing ist eine effiziente Datenstruktur, die hauptsächlich zur schnellen Suche und Speicherung von Zeichenfolgen verwendet wird. Ein Trie, auch als Präfixbaum bekannt, speichert Wörter in Form von Knoten, wobei jeder Knoten einen Buchstaben repräsentiert. Durch die gemeinsame Speicherung von Präfixen können Tries Speicherplatz sparen und die Suche nach Wörtern oder Mustern beschleunigen. Wenn ein neues Wort hinzugefügt wird, folgt es dem Pfad der vorhandenen Buchstaben im Trie und fügt bei Bedarf neue Knoten hinzu. Diese Struktur ermöglicht nicht nur eine schnelle Suche, sondern auch Operationen wie Präfixsuche, Autovervollständigung und das Finden von Wortvarianten in logarithmischer Zeit. Typischerweise hat ein Trie eine Zeitkomplexität von O(m)O(m)O(m) für die Suche, wobei mmm die Länge des gesuchten Wortes ist.

Chromatin-Zugänglichkeitsassays

Chromatin Accessibility Assays sind experimentelle Techniken, die verwendet werden, um die Zugänglichkeit von Chromatin für Transkriptionsfaktoren und andere regulatorische Proteine zu untersuchen. Diese Assays ermöglichen es Wissenschaftlern, die Struktur und Organisation des Chromatins in verschiedenen Zelltypen oder unter unterschiedlichen Bedingungen zu analysieren. Eine gängige Methode ist die ATAC-seq (Assay for Transposase-Accessible Chromatin using sequencing), bei der eine Transposase eingesetzt wird, um offene Chromatinregionen zu markieren, die anschließend sequenziert werden.

Die Ergebnisse solcher Assays können auf verschiedene Weisen interpretiert werden, um zu bestimmen, welche Genregionen aktiv sind und wie sie durch epigenetische Modifikationen beeinflusst werden. Zu den Anwendungen gehören die Erforschung von Genregulation, der Identifizierung von Enhancern sowie das Verständnis von Krankheitsmechanismen, insbesondere in der Krebsforschung. Die Analyse von Chromatin-Zugänglichkeit ist somit ein entscheidender Schritt für das Verständnis der Genexpression und der zellulären Differenzierung.

Mandelbrot-Menge

Das Mandelbrot Set ist eine faszinierende mathematische Struktur, die in der komplexen Dynamik entsteht. Es wird definiert durch die Iteration der Funktion f(z)=z2+cf(z) = z^2 + cf(z)=z2+c, wobei zzz und ccc komplexe Zahlen sind. Ein Punkt ccc gehört zum Mandelbrot Set, wenn die Iteration dieser Funktion, beginnend bei z=0z = 0z=0, niemals gegen unendlich divergiert.

Das Resultat dieser Iteration zeigt ein eindrucksvolles und komplexes Muster, das bei Vergrößerung unendlich viele ähnliche Strukturen aufweist, was als fraktale Eigenschaft bekannt ist. Die Grenzen des Mandelbrot Sets sind besonders bemerkenswert, da sie eine unendliche Vielfalt an Formen und Farben aufweisen, die durch die unterschiedlichen Arten der Divergenz der Iterationen entstehen. Diese Schönheit hat nicht nur Mathematiker, sondern auch Künstler und Wissenschaftler inspiriert, da sie die tiefen Verbindungen zwischen Mathematik und Ästhetik verdeutlicht.

Floyd-Warshall

Der Floyd-Warshall-Algorithmus ist ein graphentheoretisches Verfahren zur Bestimmung der kürzesten Wege zwischen allen Paaren von Knoten in einem gewichteten Graphen. Er funktioniert sowohl für gerichtete als auch für ungerichtete Graphen und kann positive sowie negative Gewichtungen verarbeiten, solange es keine negativen Zyklen gibt. Der Algorithmus basiert auf der dynamischen Programmierung und nutzt eine Matrix, um die aktuellen Abstände zwischen den Knoten zu speichern.

Die Grundidee ist, dass der kürzeste Weg zwischen zwei Knoten iii und jjj möglicherweise über einen dritten Knoten kkk verläuft. Die Aktualisierungsformel lautet:

d[i][j]=min⁡(d[i][j],d[i][k]+d[k][j])d[i][j] = \min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j])d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j])

Hierbei steht d[i][j]d[i][j]d[i][j] für die aktuelle Distanz zwischen den Knoten iii und jjj. Der Algorithmus wird in O(V3)O(V^3)O(V3) Zeit ausgeführt, wobei VVV die Anzahl der Knoten ist. Am Ende werden alle kürzesten Wege in der Matrix ddd gespeichert, was den Algorithmus besonders nützlich für Anwendungen macht, die eine vollständige Distanzmatrix benötigen.

Arrow's Unmöglichkeit

Arrow's Impossibility, auch bekannt als das Unmöglichkeitstheorem von Arrow, ist ein fundamentales Konzept in der Sozialwahltheorie, das von dem Ökonomen Kenneth Arrow formuliert wurde. Es besagt, dass es kein Wahlsystem gibt, das alle folgenden drei Bedingungen gleichzeitig erfüllt, wenn es um die Aggregation individueller Präferenzen zu einer kollektiven Entscheidung geht:

  1. Nicht-Diktatur: Die Präferenzen der Gruppe sollten nicht vollständig von einer einzigen Person bestimmt werden.
  2. Pareto-Effizienz: Wenn alle Wähler eine bestimmte Option bevorzugen, sollte diese Option auch gewählt werden.
  3. Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen: Die Wahl zwischen zwei Optionen sollte nicht von der Verfügbarkeit einer dritten, irrelevanten Option beeinflusst werden.

Arrow zeigte, dass alle nützlichen Abstimmungssysteme in der Praxis eine dieser Bedingungen verletzen müssen, was zu der Schlussfolgerung führt, dass es unmöglich ist, ein perfektes Abstimmungssystem zu konstruieren, das den Ansprüchen der Fairness und Rationalität gerecht wird. Dies hat tiefgreifende Implikationen für die Entscheidungsfindung in demokratischen Systemen und für die Gestaltung von Abstimmungen.

Hahn-Zerlegungssatz

Das Hahn-Zerlegungstheorem ist ein fundamentales Ergebnis in der Maßtheorie und der Funktionalanalysis, das sich mit der Zerlegung von messbaren Mengen in Bezug auf ein gegebenes, nicht-negatives Maß beschäftigt. Es besagt, dass jede nicht-negative, σ-finite Maßfunktion in zwei disjunkte Teile zerlegt werden kann: eine Menge, auf der das Maß positiv ist, und eine Menge, auf der das Maß null ist.

Formell ausgedrückt, wenn μ\muμ ein nicht-negatives Maß auf einer σ-Algebra A\mathcal{A}A ist, dann existieren disjunkte Mengen AAA und BBB in A\mathcal{A}A mit folgenden Eigenschaften:

  • μ(A)>0\mu(A) > 0μ(A)>0
  • μ(B)=0\mu(B) = 0μ(B)=0

Zusammengefasst ermöglicht das Hahn-Zerlegungstheorem eine klare Trennung zwischen den "wichtigen" und den "unwichtigen" Teilen einer messbaren Raumstruktur und ist somit von zentraler Bedeutung in der theoretischen Analyse und Anwendungen der Maßtheorie.