Riesz Representation

Ito’s Lemma ist ein zentrales Ergebnis in der stochastischen Analysis, das eine wichtige Rolle in der Finanzmathematik spielt, insbesondere bei der Bewertung von Derivaten. Es ermöglicht die Ableitung von Funktionen, die von stochastischen Prozessen abhängen, und ist eine Erweiterung der klassischen Kettenregel der Differenzialrechnung für nicht-deterministische Prozesse.

Formal lautet Ito’s Lemma: Wenn $X_t$ ein Ito-Prozess ist, definiert durch

und $f(t, x)$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist, dann gilt:

Hierbei ist $\mu(t, X_t)$ die Drift, $\sigma(t, X_t)$ die Volatilität und $dW_t$

LSTM (Long Short-Term Memory) Netzwerke sind eine spezielle Art von rekurrenten neuronalen Netzwerken, die entwickelt wurden, um das Problem des vanishing gradient zu überwinden. Sie bestehen aus drei Hauptgattern, die die Informationen steuern: dem Vergessensgate, dem Eingangsgate und dem Ausgangsgate.

1. Vergessensgate: Dieses Gate entscheidet, welche Informationen aus dem vorherigen Zellzustand $C_{t-1}$ verworfen werden sollen. Es verwendet eine Sigmoid-Aktivierungsfunktion, um eine Ausgabe zwischen 0 und 1 zu erzeugen, wobei 0 bedeutet, dass die Information vollständig verworfen wird, und 1, dass sie vollständig beibehalten wird.

2. Eingangsgate: Das Eingangsgate bestimmt, welche neuen Informationen in den Zellzustand $C_t$ aufgenommen werden. Es kombiniert die aktuelle Eingabe $x_t$ mit dem vorherigen Hidden State $h_{t-1}$ und verwendet ebenfalls eine Sigmoid-Aktivierungsfunktion, um die relevanten Informationen zu filtern.

3. Ausgangsgate: Dieses Gate steuert, welche Informationen aus dem Zellzustand in den nächsten Hidden State $h_t$ überführt werden. Es verwendet die Sigmoid-Funktion, um zu entscheiden, welche Teile des Zellzustands ausge

Homomorphic Encryption ist eine Form der Verschlüsselung, die es ermöglicht, Berechnungen auf verschlüsselten Daten durchzuführen, ohne diese vorher entschlüsseln zu müssen. Dies bedeutet, dass der Dateninhaber die Kontrolle über seine Daten behält, während Dritte Berechnungen durchführen können, ohne Zugang zu den tatsächlichen Informationen zu erhalten. Ein Beispiel für eine homomorphe Eigenschaft ist die additive Homomorphie, bei der die Verschlüsselung von zwei Zahlen $x$ und $y$ eine Verschlüsselung des Ergebnisses $x + y$ ergibt. Mathematisch ausgedrückt könnte dies so aussehen:

wobei $E$ die Verschlüsselungsfunktion und $\oplus$ die Operation ist, die die Addition repräsentiert. Diese Technologie hat das Potenzial, die Datensicherheit in Bereichen wie Cloud-Computing und Datenschutz zu revolutionieren, da sie es Unternehmen ermöglicht, sensible Informationen zu verarbeiten, ohne diese zu gefährden.

Gauge Invariance ist ein fundamentales Konzept in der theoretischen Physik, das besagt, dass die Beschreibung eines physikalischen Systems unabhängig von bestimmten Wahlfreiheiten, den sogenannten Gauge-Freiheiten, ist. Dies bedeutet, dass verschiedene mathematische Darstellungen eines physikalischen Systems, die durch eine geeignete Transformation verbunden sind, zu den gleichen physikalischen Vorhersagen führen. Zum Beispiel in der Elektrodynamik ist die Wahl des potenziellen Feldes, das zur Beschreibung des elektrischen und magnetischen Feldes verwendet wird, eine Gauge-Freiheit.

Mathematisch lässt sich dies oft durch die Transformation eines Feldes $\phi$ darstellen, wobei die physikalischen Gesetze in der Form invariant bleiben:

Hierbei ist $f(x)$ eine beliebige Funktion der Raum-Zeit-Koordinaten. Gauge Invariance spielt eine zentrale Rolle in der Quantenfeldtheorie und ist entscheidend für die Entwicklung der Standardmodelle der Teilchenphysik, da sie die Erhaltung von Energie, Impuls und anderen physikalischen Größen sichert.

Das Bragg-Gesetz beschreibt die Beziehung zwischen dem Einfallswinkel von Röntgenstrahlen auf eine kristalline Struktur und der Beugung dieser Strahlen. Es wird oft verwendet, um die Struktur von Kristallen zu analysieren. Das Gesetz lautet:

Hierbei steht $n$ für die Ordnung der Beugung, $\lambda$ für die Wellenlänge der einfallenden Strahlen, $d$ für den Abstand zwischen den Kristallebenen und $\theta$ für den Einfallswinkel der Strahlen. Wenn die Bedingung erfüllt ist, interferieren die reflektierten Wellen konstruktiv und erzeugen ein intensives Beugungsmuster. Dieses Prinzip ist grundlegend in der Röntgenkristallografie, die es Wissenschaftlern ermöglicht, die atomare Struktur von Materialien zu bestimmen.

Die Hausdorff-Dimension ist ein Konzept aus der Geometrie und der Maßtheorie, das verwendet wird, um die Dimension einer Menge zu bestimmen, die nicht unbedingt in den klassischen Dimensionen (z. B. 0, 1, 2, 3) klassifiziert werden kann. Sie erweitert die Idee der Dimension über die intuitive Vorstellung von Längen, Flächen und Volumina hinaus. Die Hausdorff-Dimension wird definiert durch die Verwendung von Hausdorff-Maßen, die die "Größe" einer Menge in Abhängigkeit von ihrer Struktur messen.

Um die Hausdorff-Dimension einer Menge $A$ zu bestimmen, betrachtet man die $s$-dimensionale Hausdorff-Maß $H^s(A)$ und analysiert, wie sich diese Maße verhalten, wenn $s$ variiert. Die Hausdorff-Dimension $\dim_H(A)$ ist dann das infimum aller $s$ (d. h. der kleinste Wert von $s$), für das das Hausdorff-Maß $H^s(A)$ gleich Null ist. Eine Menge kann also eine nicht-ganzzahlige Dimension haben, wie zum Beispiel die Cantor-Menge, die eine Hausdorff-Dimension von etwa 0,6309 hat, was zeigt, dass die Dimensionen in der fraktalen Geometr