Z-Transform

Graphene ist ein zweidimensionales Material, das aus einer einzelnen Schicht von Kohlenstoffatomen besteht und bemerkenswerte Eigenschaften wie hohe elektrische Leitfähigkeit und mechanische Festigkeit aufweist. Eines der Hauptprobleme bei der Verwendung von Graphen in elektronischen Anwendungen ist, dass es ein nullbandgap Material ist, was bedeutet, dass es keinen Bandabstand zwischen dem Valenz- und dem Leitungsband gibt. Bandgap Engineering bezieht sich auf Techniken, die darauf abzielen, dieses Bandgap zu modifizieren, um die elektronischen Eigenschaften von Graphen zu verbessern.

Zu den Methoden des Bandgap Engineering gehören:

• Chemische Modifikation: Durch das Einbringen von funktionellen Gruppen oder chemischen Elementen in die Graphenstruktur kann der Bandabstand beeinflusst werden.
• Strain Engineering: Die Anwendung mechanischer Spannungen auf Graphen verändert seine Struktur und kann somit auch das Bandgap anpassen.
• Nanostrukturierung: Das Erstellen von Graphen in Form von Nanoröhren oder anderen nanoskaligen Strukturen kann ebenfalls die elektronische Bandstruktur verändern.

Diese Techniken bieten die Möglichkeit, Graphen für verschiedene Anwendungen in der Elektronik und Optoelektronik zu optimieren, wie zum Beispiel in Transistoren, Solarzellen oder Sensoren.

Np-Completeness ist ein Konzept aus der theoretischen Informatik, das sich mit der Komplexität von Entscheidungsproblemen beschäftigt. Ein Problem gehört zur Klasse NP (nicht-deterministisch polynomial), wenn es möglich ist, eine Lösung für das Problem in polynomialer Zeit zu überprüfen. Ein Problem ist NP-vollständig, wenn es in NP ist und jedes andere Problem in NP in polynomialer Zeit auf dieses Problem reduziert werden kann. Dies bedeutet, dass die NP-vollständigen Probleme die "schwierigsten" Probleme in NP sind, da, wenn man eines dieser Probleme effizient lösen könnte, man auch alle anderen Probleme in NP effizient lösen könnte. Beispiele für NP-vollständige Probleme sind das Travelling Salesman Problem und das Knapsack Problem. Die Frage, ob P = NP ist, bleibt eines der größten offenen Probleme in der Informatik.

Die Euler’sche Formel ist eine fundamentale Beziehung in der Mathematik, die die Verbindung zwischen der Analysis und der trigonometrischen Funktion beschreibt. Sie lautet:

Hierbei ist $e$ die Basis des natürlichen Logarithmus, $i$ die imaginäre Einheit und $x$ eine reelle Zahl. Diese Formel zeigt, dass komplexe Exponentialfunktionen eng mit trigonometrischen Funktionen verknüpft sind. Besonders bemerkenswert ist, dass sie es ermöglicht, komplexe Zahlen in der Form $re^{i\theta}$ darzustellen, wobei $r$ der Betrag und $\theta$ das Argument der komplexen Zahl ist. Die Anwendung von Euler’s Formel findet sich in vielen Bereichen der Mathematik, einschließlich der Signalverarbeitung, der Quantenmechanik und der Schwingungsanalyse, und sie ist ein Schlüssel zu einem tieferen Verständnis der komplexen Zahlen.

Multijunction-Solarzellen sind fortschrittliche photovoltaische Materialien, die aus mehreren Schichten bestehen, die jeweils auf verschiedene Wellenlängen des Sonnenlichts abgestimmt sind. Diese Schichten sind so konzipiert, dass sie die Absorption des Lichts maximieren und die Effizienz der Umwandlung von Sonnenenergie in elektrische Energie erhöhen. Der Hauptvorteil dieser Technologie liegt in ihrer Fähigkeit, die Bandlücken der Materialien gezielt zu wählen, sodass jede Schicht die Energie eines bestimmten Teils des Lichtspektrums nutzen kann.

Ein typisches Beispiel ist die Verwendung von Materialien wie Galliumarsenid (GaAs) für die obere Schicht und Indiumgalliumphosphid (InGaP) für die mittlere Schicht. Dabei folgt die Effizienz oft einer Beziehung, die durch die Schichten und deren Bandlücken definiert ist. Die theoretische maximale Effizienz einer Multijunction-Solarzelle kann bis zu 45% erreichen, verglichen mit nur etwa 20% für herkömmliche einlagige Solarzellen, da sie einen größeren Teil des Spektrums des Sonnenlichts effektiv nutzen können.

Die Poisson-Verteilung ist eine probabilistische Verteilung, die häufig verwendet wird, um die Anzahl der Ereignisse in einem festen Intervall zu modellieren, wenn diese Ereignisse unabhängig voneinander auftreten. Sie wird durch einen Parameter $\lambda$ (Lambda) charakterisiert, der die durchschnittliche Anzahl der Ereignisse pro Intervall angibt. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau $k$ Ereignisse in einem Intervall auftreten, wird durch die Formel gegeben:

Hierbei ist $e$ die Basis des natürlichen Logarithmus und $k!$ die Fakultät von $k$. Die Poisson-Verteilung findet in verschiedenen Bereichen Anwendung, wie z.B. in der Verkehrsplanung zur Modellierung der Anzahl der Fahrzeuge, die eine Kreuzung in einer bestimmten Zeitspanne passieren, oder in der Telekommunikation zur Analyse von Anrufen, die in einem bestimmten Zeitraum eingehen. Ein wichtiges Merkmal der Poisson-Verteilung ist, dass sie gut geeignet ist für Situationen, in denen die Ereignisse selten sind und die Zeiträume, in denen sie auftreten, relativ kurz sind.

Die Chern-Zahl ist ein topologisches Invarianzmaß, das in der Mathematik und Physik, insbesondere in der Festkörperphysik und der Quantenfeldtheorie, eine wichtige Rolle spielt. Sie quantifiziert die Topologie von Energiebandstrukturen in Materialien und spielt eine entscheidende Rolle bei der Klassifizierung von topologischen Phasen. Mathematisch wird die Chern-Zahl als Integral über die erste Chern-Klasse $c_1$ einer gegebenen, komplexen Vektorfeldstruktur definiert:

Hierbei ist $F(k)$ die Berry-Krümmung, die aus dem Berry-Potential abgeleitet wird, und $BZ$ steht für die Brillouin-Zone. Ein bemerkenswerter Aspekt der Chern-Zahl ist, dass sie nur ganze Zahlen annehmen kann, was bedeutet, dass topologisch unterschiedliche Zustände nicht kontinuierlich ineinander überführt werden können, ohne dass Phasenumstellungen auftreten. Dies hat tiefgreifende Konsequenzen für das Verständnis von Phänomenen wie dem quantisierten Hall-Effekt und anderen topologischen Phasen in Festkörpern.