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Ergodicity In Markov Chains

Ergodizität ist ein zentrales Konzept in der Theorie der Markov-Ketten, das sich mit dem langfristigen Verhalten eines Systems befasst. Eine Markov-Kette ist ergodisch, wenn sie die Eigenschaft hat, dass ihre Zustandsverteilung im Laufe der Zeit unabhängig von der Anfangsverteilung wird. Das bedeutet, dass egal, in welchem Zustand das System beginnt, die Verteilung der Zustände sich mit der Zeit stabilisiert und sich einer stationären Verteilung nähert. Ein wichtiges Kriterium für die Ergodizität ist, dass die Markov-Kette recurrent ist, das heißt, es gibt eine positive Wahrscheinlichkeit, dass jeder Zustand unendlich oft besucht wird.

Mathematisch ausgedrückt, wenn π\piπ die stationäre Verteilung ist, gilt:

lim⁡n→∞P(Xn=j∣X0=i)=πj\lim_{n \to \infty} P(X_n = j | X_0 = i) = \pi_jn→∞lim​P(Xn​=j∣X0​=i)=πj​

für alle Zustände iii und jjj. Die Ergodizität ist entscheidend für Anwendungen in der Statistik, Physik und Wirtschaft, da sie sicherstellt, dass langfristige Vorhersagen und Analysen auf stabilen Verteilungen basieren können.

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Phillips-Kurve-Inflation

Die Phillips-Kurve beschreibt die inverse Beziehung zwischen Inflation und Arbeitslosigkeit in einer Volkswirtschaft. Sie wurde erstmals von A.W. Phillips in den späten 1950er Jahren formuliert und zeigt, dass niedrigere Arbeitslosigkeitsraten tendenziell mit höheren Inflationsraten einhergehen. Dies liegt daran, dass eine hohe Nachfrage nach Arbeitskräften die Löhne steigen lässt, was wiederum die Produktionskosten erhöht und zu höheren Preisen für Konsumgüter führt.

Mathematisch kann die Beziehung zwischen Inflation (π\piπ) und Arbeitslosigkeit (UUU) durch die folgende Gleichung dargestellt werden:

π=πe−β(U−Un)\pi = \pi^e - \beta (U - U_n)π=πe−β(U−Un​)

Hierbei steht πe\pi^eπe für die erwartete Inflation, β\betaβ ist ein positiver Koeffizient, und UnU_nUn​ ist die natürliche Arbeitslosenquote. In den letzten Jahrzehnten wurde jedoch festgestellt, dass diese Beziehung nicht immer stabil ist, insbesondere während der Stagflation in den 1970er Jahren, als hohe Inflation und hohe Arbeitslosigkeit gleichzeitig auftraten. Daher wird die Phillips-Kurve heute oft als dynamische Beziehung betrachtet, die von den Erwartungen der Wirtschaftsteilnehmer beeinflusst wird.

PWM-Steuerung

Die Pulsweitenmodulation (PWM) ist eine Technik zur Steuerung der Leistung, die an elektrische Geräte geliefert wird, indem die Breite der Pulse in einem Signal variiert wird. Bei der PWM wird ein Rechtecksignal erzeugt, dessen Ein-Zeit (High-Zeit) und Aus-Zeit (Low-Zeit) so angepasst werden, dass der durchschnittliche Spannungswert variiert wird, ohne die Frequenz des Signals zu ändern. Der Duty Cycle, definiert als der Anteil der Zeit, in der das Signal aktiv ist, spielt eine zentrale Rolle und wird in Prozent angegeben. Beispielsweise bedeutet ein Duty Cycle von 50 %, dass das Signal die Hälfte der Zeit aktiv und die andere Hälfte inaktiv ist. Diese Methode wird häufig in der Motorsteuerung, der Lichtdimmen und der Temperaturregelung eingesetzt, da sie eine präzise Kontrolle über die Leistung ermöglicht und gleichzeitig eine hohe Effizienz bietet.

Sha-256

SHA-256 (Secure Hash Algorithm 256) ist ein kryptografischer Hash-Algorithmus, der von der National Security Agency (NSA) entwickelt wurde und Teil der SHA-2 Familie ist. Er generiert aus einer beliebigen Eingabedatei einen 256-Bit langen Hash-Wert, der als eindeutige digitale Fingerabdruck der Daten dient. Dieser Hash-Wert ist deterministisch, was bedeutet, dass die gleiche Eingabe immer den gleichen Hash-Wert erzeugt. SHA-256 wird häufig in Sicherheitsprotokollen wie SSL/TLS verwendet und ist auch eine zentrale Technologie in der Blockchain, um die Integrität von Transaktionen zu gewährleisten. Ein wichtiges Merkmal von SHA-256 ist seine Resistenz gegen Kollisionen, was bedeutet, dass es extrem unwahrscheinlich ist, zwei verschiedene Eingaben zu finden, die denselben Hash-Wert erzeugen.

Borel-Cantelli-Lemma

Das Borel-Cantelli-Lemma ist ein zentrales Resultat in der Wahrscheinlichkeitstheorie, das sich mit der Konvergenz von Ereignissen in einer Folge von Zufallsvariablen beschäftigt. Es besagt, dass wenn A1,A2,A3,…A_1, A_2, A_3, \ldotsA1​,A2​,A3​,… eine Folge von Ereignissen ist und die Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse endlich ist, d.h.

∑n=1∞P(An)<∞,\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n) < \infty,n=1∑∞​P(An​)<∞,

dann tritt das Ereignis AnA_nAn​ nur endlich oft mit Wahrscheinlichkeit 1 auf. Umgekehrt, wenn die AnA_nAn​ unabhängig sind und

∑n=1∞P(An)=∞,\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n) = \infty,n=1∑∞​P(An​)=∞,

dann tritt AnA_nAn​ mit Wahrscheinlichkeit 1 unendlich oft auf. Dieses Lemma verbindet somit die Konzepte der Wahrscheinlichkeit und der Konvergenz und ist grundlegend für die Analyse von Zufallsprozessen.

Arrow's Theorem

Arrow’s Theorem, formuliert von Kenneth Arrow in den 1950er Jahren, ist ein zentrales Ergebnis in der Sozialwahltheorie, das die Schwierigkeiten bei der Aggregation individueller Präferenzen zu einer kollektiven Entscheidung aufzeigt. Das Theorem besagt, dass es unter bestimmten Bedingungen unmöglich ist, ein Wahlverfahren zu finden, das die folgenden rationalen Kriterien erfüllt:

  1. Vollständigkeit: Für jede mögliche Auswahl von Alternativen sollte es möglich sein, eine Rangordnung zu erstellen.
  2. Transitivität: Wenn eine Gruppe von Wählern Alternative A über B und B über C bevorzugt, sollte A auch über C bevorzugt werden.
  3. Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen: Die Rangordnung zwischen zwei Alternativen sollte nicht von der Einschätzung einer dritten, irrelevanten Alternative abhängen.
  4. Bedingung der Einigkeit: Wenn alle Wähler eine bestimmte Alternative bevorzugen, sollte diese Alternative auch in der kollektiven Entscheidung bevorzugt werden.

Arrow zeigte, dass kein Wahlsystem existiert, das diese Bedingungen gleichzeitig erfüllt, falls es mindestens drei Alternativen gibt. Dies hat weitreichende Implikationen für die Demokratie und die Gestaltung von Abstimmungssystemen, da es die Schwierigkeiten bei der Schaffung eines fairen und konsistenten Entscheidungsprozesses verdeutlicht.

Exzitonrekombination

Die Exciton-Rekombination ist ein physikalischer Prozess, der in Halbleitern und anderen Materialien auftritt, wenn ein gebundener Zustand aus einem Elektron und einem Loch, bekannt als Exciton, zerfällt. Bei der Rekombination kann das Exciton in einen energetisch niedrigeren Zustand übergehen, wobei die Energie in Form von Photonen (Licht) oder Wärme freigesetzt wird. Dieser Prozess ist von zentraler Bedeutung für das Verständnis von optoelektronischen Bauelementen, wie z.B. Solarzellen und LEDs.

Die Rekombination kann in verschiedenen Formen auftreten, darunter:

  • Strahlende Rekombination: Hierbei wird ein Photon emittiert.
  • Nicht-strahlende Rekombination: Bei dieser Art wird die Energie in Form von Wärme dissipiert, ohne Licht zu erzeugen.

Mathematisch kann die Rekombinationsrate RRR häufig durch die Beziehung R=βnpR = \beta n pR=βnp beschrieben werden, wobei nnn die Elektronenkonzentration, ppp die Lochkonzentration und β\betaβ eine Rekombinationskonstante ist.