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Stackelberg Competition Leader Advantage

Der Stackelberg-Wettbewerb ist ein Modell der oligopolistischen Marktstruktur, in dem Unternehmen strategisch Entscheidungen über Preis und Menge treffen. In diesem Modell hat der Leader, das Unternehmen, das zuerst seine Produktionsmenge festlegt, einen entscheidenden Vorteil gegenüber dem Follower, also dem Unternehmen, das seine Entscheidungen danach trifft. Dieser Vorteil entsteht, weil der Leader seine Produktionsmenge so wählen kann, dass er die Reaktionen des Followers antizipiert und somit seine eigene Marktposition optimiert.

Der Leader maximiert seinen Gewinn unter Berücksichtigung der Reaktionsfunktion des Followers, was bedeutet, dass er nicht nur seine eigenen Kosten und Preise, sondern auch die potenziellen Reaktionen des Followers in seine Entscheidungen einbezieht. Mathematisch kann dies durch die Maximierung der Gewinnfunktion des Leaders unter der Berücksichtigung der Reaktionsfunktion des Followers dargestellt werden. Dies führt oft zu einem höheren Marktanteil und höheren Profiten für den Leader im Vergleich zum Follower.

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Monte Carlo Finance

Die Monte Carlo Methode ist eine leistungsstarke statistische Technik, die in der Finanzwelt verwendet wird, um die Unsicherheiten und Risiken von Investitionen zu bewerten. Sie basiert auf der Erzeugung von zufälligen Stichproben aus einem definierten Wahrscheinlichkeitsverteilungsspektrum und ermöglicht es, verschiedene Szenarien zu simulieren, um potenzielle Ergebnisse zu prognostizieren. Ein typisches Beispiel ist die Bewertung von Derivaten, wo die zukünftigen Preisbewegungen eines Basiswerts häufig unvorhersehbar sind.

Wichtige Schritte in der Monte Carlo Simulation:

  1. Modellierung des Finanzinstruments: Festlegung der relevanten Parameter, wie z.B. Volatilität und Zinssätze.
  2. Erzeugung von Zufallszahlen: Verwendung von Zufallszahlengeneratoren, um mögliche Preisbewegungen zu simulieren.
  3. Durchführung der Simulation: Durchführung einer großen Anzahl von Simulationen (oft Tausende oder Millionen), um eine Verteilung möglicher Ergebnisse zu erstellen.
  4. Analyse der Ergebnisse: Berechnung von Kennzahlen wie dem durchschnittlichen Ergebnis, der Varianz oder dem Value at Risk (VaR).

Diese Methode bietet nicht nur eine fundierte Entscheidungsgrundlage, sondern hilft auch, die potenziellen Risiken und Renditen eines Finanzportfolios besser zu verstehen.

Noether-Ladung

Die Noether Charge ist ein zentrales Konzept in der theoretischen Physik, das aus dem Noether-Theorem hervorgeht, benannt nach der Mathematikerin Emmy Noether. Dieses Theorem verbindet symmetrische Eigenschaften eines physikalischen Systems mit Erhaltungsgrößen. Wenn ein System eine kontinuierliche Symmetrie aufweist, wie zum Beispiel die Zeitinvarianz oder die Invarianz unter räumlicher Verschiebung, dann existiert eine zugehörige Erhaltungsgröße, die als Noether Charge bezeichnet wird.

Mathematisch kann die Noether Charge QQQ in Zusammenhang mit einer kontinuierlichen Symmetrie eines Lagrangeans L\mathcal{L}L durch den Ausdruck

Q=∑i∂L∂ϕ˙iδϕiQ = \sum_i \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}_i} \delta \phi_iQ=i∑​∂ϕ˙​i​∂L​δϕi​

definiert werden, wobei ϕi\phi_iϕi​ die Felder und δϕi\delta \phi_iδϕi​ die Variationen dieser Felder unter der Symmetrie darstellen. Diese Erhaltungsgrößen sind entscheidend für das Verständnis von physikalischen Prozessen und spielen eine wichtige Rolle in Bereichen wie der Quantenfeldtheorie und der klassischen Mechanik.

Ramjet-Verbrennung

Ramjet-Verbrennung ist ein Verfahren, das in Ramjet-Triebwerken verwendet wird, um Schub zu erzeugen, insbesondere bei hohen Geschwindigkeiten. Der grundlegende Mechanismus besteht darin, dass die Luft, die in das Triebwerk eintritt, durch die hohe Geschwindigkeit des Fahrzeugs komprimiert wird, ohne dass bewegliche Teile benötigt werden. Diese komprimierte Luft wird dann mit Kraftstoff, meist Wasserstoff oder Kerosin, vermischt und in einer Brennkammer entzündet. Die chemische Reaktion während der Verbrennung erzeugt eine hohe Temperatur und einen hohen Druck, was zu einer schnellen Expansion der Gase führt. Diese Expansion treibt die Gase durch eine Düse nach hinten und erzeugt einen Schub gemäß dem Impulsprinzip:

F=d(mv)dtF = \frac{d(mv)}{dt}F=dtd(mv)​

Dabei steht FFF für den erzeugten Schub, mmm für die Masse der Gase und vvv für die Geschwindigkeit der ausgestoßenen Gase. Ein entscheidendes Merkmal der Ramjet-Technologie ist, dass sie bei Unterschallgeschwindigkeit nicht funktioniert, da sie auf der Vorwärtsbewegung angewiesen ist, um die notwendige Luftkompression zu erreichen.

Bayesian-Nash

Der Bayesian Nash-Gleichgewicht ist ein Konzept in der Spieltheorie, das sich mit Situationen beschäftigt, in denen Spieler unvollständige Informationen über die anderen Spieler haben. In einem solchen Spiel hat jeder Spieler eigene private Informationen, die seine Strategiewahl beeinflussen können. Im Gegensatz zum klassischen Nash-Gleichgewicht, bei dem alle Spieler vollständige Informationen haben, berücksichtigt der Bayesian Nash-Gleichgewicht die Unsicherheiten und Erwartungen über die Typen der anderen Spieler.

Ein Spieler wählt seine Strategie, um seinen erwarteten Nutzen zu maximieren, wobei er Annahmen über die Strategien und Typen der anderen Spieler trifft. Mathematisch wird ein Bayesian Nash-Gleichgewicht als ein Profil von Strategien (s1∗,s2∗,…,sn∗)(s_1^*, s_2^*, \ldots, s_n^*)(s1∗​,s2∗​,…,sn∗​) definiert, bei dem für jeden Spieler iii gilt:

Ui(si∗,s−i∗)≥Ui(si,s−i∗)∀siU_i(s_i^*, s_{-i}^*) \geq U_i(s_i, s_{-i}^*) \quad \forall s_iUi​(si∗​,s−i∗​)≥Ui​(si​,s−i∗​)∀si​

Hierbei ist UiU_iUi​ der Nutzen für Spieler iii, s−i∗s_{-i}^*s−i∗​ die Strategien der anderen Spieler und sis_isi​ eine alternative Strategie für Spieler iii.

Anisotropes Ätzen

Anisotropes Ätzen ist ein Verfahren, das in der Mikroelektronik und Nanotechnologie eingesetzt wird, um Materialien mit kontrollierten und spezifischen Geometrien zu bearbeiten. Im Gegensatz zum isotropen Ätzen, bei dem die Ätze gleichmäßig in alle Richtungen wirken, weist das anisotrope Ätzen eine gerichtete Ätzwirkung auf, die es ermöglicht, scharfe Kanten und präzise Strukturen zu erzeugen. Dies wird häufig durch die Verwendung von Ätzmitteln erreicht, die selektiv die Kristalloberflächen eines Materials angreifen, basierend auf deren Kristallorientierung.

Ein typisches Beispiel für anisotropes Ätzen ist das Ätzen von Silizium, bei dem die Ätzrate je nach Kristallrichtung variiert. Die Ätzrate kann in der Regel als Funktion der Kristallorientierung beschrieben werden, wobei die Beziehung durch die Formel R=k⋅cos⁡(θ)R = k \cdot \cos(\theta)R=k⋅cos(θ) definiert werden kann, wobei RRR die Ätzrate, kkk eine Konstante und θ\thetaθ der Winkel zwischen der Ätzrichtung und der Kristalloberfläche ist. Die Fähigkeit, anisotrop zu ätzen, ist entscheidend für die Herstellung von Mikrochips und MEMS (Micro-Electro-Mechanical Systems), da sie die Miniaturisierung und die

Poisson-Summationsformel

Die Poisson-Summationsformel ist ein wichtiges Resultat in der Fourier-Analyse, das eine Beziehung zwischen der Summation einer Funktion und der Summation ihrer Fourier-Transformierten herstellt. Sie besagt, dass für eine geeignete Funktion f(x)f(x)f(x) die folgende Gleichung gilt:

∑n=−∞∞f(n)=∑m=−∞∞f^(m)\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} \hat{f}(m)n=−∞∑∞​f(n)=m=−∞∑∞​f^​(m)

Hierbei ist f^(m)\hat{f}(m)f^​(m) die Fourier-Transformierte von f(x)f(x)f(x), definiert als:

f^(m)=∫−∞∞f(x)e−2πimx dx\hat{f}(m) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i mx} \, dxf^​(m)=∫−∞∞​f(x)e−2πimxdx

Die Formel zeigt, dass die Diskretisierung einer Funktion (die Summation über ganzzahlige Punkte) äquivalent ist zur Diskretisierung ihrer Frequenzdarstellung. Dies hat weitreichende Anwendungen in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik, insbesondere in der Signalverarbeitung und der Zahlentheorie, da sie es ermöglicht, Probleme in einem Bereich durch die Betrachtung in einem anderen Bereich zu lösen.