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Stackelberg Competition Leader Advantage

Der Stackelberg-Wettbewerb ist ein Modell der oligopolistischen Marktstruktur, in dem Unternehmen strategisch Entscheidungen über Preis und Menge treffen. In diesem Modell hat der Leader, das Unternehmen, das zuerst seine Produktionsmenge festlegt, einen entscheidenden Vorteil gegenüber dem Follower, also dem Unternehmen, das seine Entscheidungen danach trifft. Dieser Vorteil entsteht, weil der Leader seine Produktionsmenge so wählen kann, dass er die Reaktionen des Followers antizipiert und somit seine eigene Marktposition optimiert.

Der Leader maximiert seinen Gewinn unter Berücksichtigung der Reaktionsfunktion des Followers, was bedeutet, dass er nicht nur seine eigenen Kosten und Preise, sondern auch die potenziellen Reaktionen des Followers in seine Entscheidungen einbezieht. Mathematisch kann dies durch die Maximierung der Gewinnfunktion des Leaders unter der Berücksichtigung der Reaktionsfunktion des Followers dargestellt werden. Dies führt oft zu einem höheren Marktanteil und höheren Profiten für den Leader im Vergleich zum Follower.

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Erdős-Kac-Theorem

Das Erdős-Kac-Theorem ist ein zentrales Resultat der analytischen Zahlentheorie, das die Verteilung der Anzahl der Primfaktoren von natürlichen Zahlen untersucht. Es besagt, dass die Anzahl der Primfaktoren (mit Vielfachheiten) einer zufällig gewählten natürlichen Zahl nnn asymptotisch einer Normalverteilung folgt, wenn nnn groß ist. Genauer gesagt, wenn N(n)N(n)N(n) die Anzahl der Primfaktoren von nnn ist, dann gilt:

N(n)−log⁡nlog⁡n→dN(0,1)\frac{N(n) - \log n}{\sqrt{\log n}} \xrightarrow{d} N(0, 1)logn​N(n)−logn​d​N(0,1)

Das bedeutet, dass der Ausdruck N(n)−log⁡nlog⁡n\frac{N(n) - \log n}{\sqrt{\log n}}logn​N(n)−logn​ für große nnn in Verteilung gegen eine Standardnormalverteilung konvergiert. Dies zeigt die tiefe Verbindung zwischen Zahlentheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie und unterstreicht die Regelmäßigkeiten in der Verteilung der Primzahlen. Das Theorem wurde unabhängig von Paul Erdős und Mark Kac in den 1930er Jahren formuliert und hat weitreichende Anwendungen in der Zahlentheorie und anderen Bereichen der Mathematik.

Pythagoreische Tripel

Pythagorean Triples sind spezielle Gruppen von drei positiven ganzen Zahlen (a,b,c)(a, b, c)(a,b,c), die die Gleichung des Pythagoreischen Satzes erfüllen:

a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2a2+b2=c2

Hierbei ist ccc die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, während aaa und bbb die Längen der beiden anderen Seiten darstellen. Ein bekanntes Beispiel für ein Pythagorean Triple ist (3,4,5)(3, 4, 5)(3,4,5), da 32+42=9+16=25=523^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^232+42=9+16=25=52. Pythagorean Triples können durch verschiedene Methoden generiert werden, darunter die Verwendung von zwei positiven ganzen Zahlen mmm und nnn (mit m>nm > nm>n) durch die Formeln:

a=m2−n2,b=2mn,c=m2+n2a = m^2 - n^2, \quad b = 2mn, \quad c = m^2 + n^2a=m2−n2,b=2mn,c=m2+n2

Diese Triples sind von besonderer Bedeutung in der Mathematik und finden Anwendung in verschiedenen Bereichen, wie z.B. in der Geometrie und der Zahlentheorie.

Wachstumstheorien

Wachstumstheorien in der Wirtschaft erklären, wie und warum Volkswirtschaften über Zeit wachsen. Die klassische Wachstumstheorie, vertreten durch Ökonomen wie Adam Smith, betont die Rolle von Kapitalakkumulation und Arbeitsteilung. Im Gegensatz dazu fokussiert die neoklassische Wachstumstheorie, insbesondere das Solow-Modell, auf technologische Fortschritte und die Bedeutung von Faktoren wie Humankapital. Eine weitere bedeutende Theorie ist die endogene Wachstumstheorie, die darauf hinweist, dass das Wachstum aus dem wirtschaftlichen Umfeld selbst entstehen kann, insbesondere durch Innovationen und Wissensschaffung. Diese Theorien verwenden oft mathematische Modelle, um das Wachstum mathematisch zu beschreiben, wobei eine gängige Gleichung die Produktionsfunktion darstellt:

Y=F(K,L,A)Y = F(K, L, A)Y=F(K,L,A)

Hierbei steht YYY für das Bruttoinlandsprodukt, KKK für Kapital, LLL für Arbeit und AAA für technologische Effizienz.

Zener-Dioden-Spannungsregelung

Die Zener-Diode wird häufig zur Spannungsregulierung in elektrischen Schaltungen eingesetzt. Sie funktioniert, indem sie in umgekehrter Richtung betrieben wird, wodurch sie eine nahezu konstante Spannung aufrechterhält, selbst wenn sich der Strom durch die Diode ändert. Wenn die Spannung über die Zener-Diode einen bestimmten Wert, die Zener-Spannung VZV_ZVZ​, überschreitet, wird die Diode leitend und leitet überschüssigen Strom ab, wodurch die Spannung stabil bleibt. Dies ermöglicht eine zuverlässige Spannungsversorgung für empfindliche Bauteile oder Schaltungen, die eine konstante Spannung benötigen.

Die allgemeine Formel zur Berechnung des Ausgangsstroms IZI_ZIZ​ durch die Zener-Diode lautet:

IZ=Vin−VZRI_Z = \frac{V_{in} - V_Z}{R}IZ​=RVin​−VZ​​

Hierbei ist VinV_{in}Vin​ die Eingangsspannung und RRR der Widerstand in Reihe zur Zener-Diode. Diese Regelungstechnik ist besonders nützlich in einfachen Spannungsreglern und bietet eine kostengünstige Lösung für viele Anwendungen.

Laborelastizität

Labor Elasticity bezeichnet die Sensitivität der Arbeitsnachfrage gegenüber Veränderungen in anderen wirtschaftlichen Variablen, insbesondere dem Lohnniveau. Sie wird häufig als Maß dafür verwendet, wie stark die Arbeitgeber bereit sind, die Anzahl der Beschäftigten zu erhöhen oder zu verringern, wenn sich die Löhne ändern. Die Formel zur Berechnung der Arbeitselastizität lautet:

EL=% Vera¨nderung der Bescha¨ftigung% Vera¨nderung des LohnsE_L = \frac{\% \text{ Veränderung der Beschäftigung}}{\% \text{ Veränderung des Lohns}}EL​=% Vera¨nderung des Lohns% Vera¨nderung der Bescha¨ftigung​

Ein Wert von EL>1E_L > 1EL​>1 deutet darauf hin, dass die Beschäftigung stark auf Lohnänderungen reagiert, während EL<1E_L < 1EL​<1 darauf hinweist, dass die Veränderung der Beschäftigung relativ gering ist. Diese Kennzahl ist entscheidend für Unternehmen und politische Entscheidungsträger, da sie hilft zu verstehen, wie Lohnanpassungen die Arbeitsmarktbedingungen beeinflussen können. In einem dynamischen Arbeitsmarkt kann die Labor Elasticity auch durch Faktoren wie Technologie, Branchenstruktur und wirtschaftliche Rahmenbedingungen beeinflusst werden.

Tunnel-Diodenbetrieb

Eine Tunnel-Diode ist ein spezieller Halbleiterbauelement, das durch den quantenmechanischen Tunnel-Effekt funktioniert. Im Gegensatz zu herkömmlichen Dioden, die eine Schwelle benötigen, um leitend zu werden, zeigt die Tunnel-Diode ein negatives Widerstandsverhalten in einem bestimmten Spannungsbereich. Dies bedeutet, dass der Strom nicht nur bei steigender Spannung zunimmt, sondern auch abnimmt, was zu einer charakteristischen I-V-Kurve führt.

Die Funktionsweise der Tunnel-Diode beruht auf der starken Dotierung von p- und n-Typ-Halbleitermaterialien, was zu einer sehr dünnen pn-Übergangsregion führt. Wenn eine Spannung an die Diode angelegt wird, können Elektronen durch den Energiebarriere tunneln, selbst wenn die Spannung unter der sogenannten Durchbruchsspannung liegt. Dieses Verhalten ermöglicht Anwendungen in hochfrequenten Schaltungen und als Schalter in digitalen Logikschaltungen.