Giffen Good Empirical Examples

Der Bid-Ask Spread ist der Unterschied zwischen dem Preis, den Käufer bereit sind zu zahlen (Bid-Preis), und dem Preis, zu dem Verkäufer bereit sind zu verkaufen (Ask-Preis). Dieser Spread ist ein zentrales Konzept in der Markt-Mikrostruktur und reflektiert die Liquidität und Effizienz eines Marktes. Ein enger Spread deutet auf einen liquiden Markt hin, wo Käufer und Verkäufer schnell zusammenfinden können, während ein breiter Spread oft auf weniger Liquidität und höhere Transaktionskosten hinweist. Der Bid-Ask Spread kann auch von verschiedenen Faktoren beeinflusst werden, wie z.B. der Handelsvolumen, Marktvolatilität und der Anzahl der Marktteilnehmer. Mathematisch lässt sich der Bid-Ask Spread als folgt darstellen:

In der Praxis müssen Händler diesen Spread berücksichtigen, da er die tatsächlichen Kosten ihrer Handelsentscheidungen beeinflussen kann.

Die Oberflächenenergieminimierung ist ein grundlegendes Konzept in der Materialwissenschaft und Physik, das beschreibt, wie Materialien bestrebt sind, ihre Oberflächenenergie zu verringern. Diese Energie ist das Ergebnis von Kräften, die an der Oberfläche eines Materials wirken, und sie ist oft höher als im Inneren des Materials, da die Atome an der Oberfläche weniger Nachbarn haben. Um die Oberflächenenergie zu minimieren, neigen Materialien dazu, sich so zu reorganisieren oder zu formen, dass die Oberfläche möglichst klein wird, was häufig zu sphärischen oder anderen optimalen geometrischen Formen führt.

Ein praktisches Beispiel für dieses Konzept ist die Bildung von Tropfen, die aufgrund der Oberflächenenergie eine kugelförmige Form annehmen, da diese die geringste Oberfläche für ein gegebenes Volumen bietet. Mathematisch wird die Oberflächenenergie $\gamma$ oft als Funktion der Fläche $A$ beschrieben, wobei die Beziehung typischerweise als $E = \gamma A$ dargestellt wird. Hierbei ist $E$ die gesamte Oberflächenenergie des Materials. Die Minimierung der Oberflächenenergie spielt eine zentrale Rolle in Prozessen wie der Nanostrukturierung, der Kristallisation und der Herstellung von Oberflächenbeschichtungen.

Das Gauss-Bonnet-Theorem ist ein fundamentales Resultat in der Differentialgeometrie, das eine tiefgehende Verbindung zwischen der Geometrie einer Fläche und ihrer Topologie beschreibt. Es besagt, dass die gekrümmte Fläche $A$ einer kompakten, orientierbaren Fläche $S$ mit Rand gleich dem Integral der Gaußschen Krümmung $K$ über die Fläche und der so genannten geodätischen Krümmung $k_g$ über den Rand ist. Mathematisch formuliert lautet das Theorem:

Hierbei ist $\chi(S)$ die Euler-Charakteristik der Fläche $S$. Das Theorem zeigt, dass die Summe der Krümmungen in einer Fläche (sowohl innerhalb als auch am Rand) eng mit der topologischen Eigenschaft der Fläche verbunden ist. Ein klassisches Beispiel ist die Kugeloberfläche, deren Euler-Charakteristik $\chi(S) = 2$ ist und die positive Gaußkrümmung aufweist, was zeigt, dass sie eine geschlossene, positive Krümmung hat.

Die Jordan-Normalform ist eine spezielle Form einer Matrix, die in der linearen Algebra verwendet wird, um die Struktur von linearen Abbildungen zu untersuchen. Eine Matrix $A$ kann in die Jordan-Normalform $J$ überführt werden, die aus Jordan-Blöcken besteht, wobei jeder Block einem Eigenwert von $A$ entspricht. Die Berechnung der Jordan-Normalform erfolgt in mehreren Schritten:

1. Eigenwerte finden: Zuerst bestimmt man die Eigenwerte der Matrix $A$ durch Lösen der charakteristischen Gleichung $\det(A - \lambda I) = 0$.
2. Eigenvektoren berechnen: Für jeden Eigenwert $\lambda$ berechnet man die Eigenvektoren und die zugehörigen Häufigkeiten.
3. Generalisierten Eigenvektoren: Wenn die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts größer ist als die geometrische Vielfachheit, müssen auch die generalisierten Eigenvektoren berechnet werden.
4. Jordan-Blöcke erstellen: Basierend auf den Eigenvektoren und den generalisierten Eigenvektoren werden die Jordan-Blöcke erstellt. Diese Blöcke bestehen aus der Hauptdiagonalen, die den Eigenwert enthält, und Einsen auf der Superdiagonalen.

Die resultierende Jordan-Normalform $J$

Die Phillips-Kurve beschreibt die inverse Beziehung zwischen Inflation und Arbeitslosigkeit in einer Volkswirtschaft. Der Adjustierungseffekt der Erwartungen bezieht sich auf die Anpassung der Inflationserwartungen der Wirtschaftsteilnehmer im Laufe der Zeit. Wenn die Inflation höher als erwartet ist, werden Arbeitnehmer und Unternehmen ihre zukünftigen Erwartungen an die Preisentwicklung anpassen, was zu einer Erhöhung der Löhne und damit zu einer weiteren Inflation führen kann. Dies kann in einem sich selbst verstärkenden Zyklus resultieren, in dem steigende Inflationserwartungen die tatsächliche Inflation weiter anheizen. Der mathematische Ausdruck für die Phillips-Kurve könnte vereinfacht als folgt dargestellt werden:

Hierbei ist $\pi_t$ die Inflation zum Zeitpunkt $t$, $\beta$ der Reaktionsfaktor, $u_t$ die tatsächliche Arbeitslosenquote und $u_n$ die natürliche Arbeitslosenquote. Die Anpassung der Erwartungen spielt eine entscheidende Rolle, da sie die langfristigen Beziehungen zwischen Inflation und Arbeitslosigkeit beeinflusst und die Effektivität der Geldpolitik in Frage stellt.

Der Convex Hull Trick ist ein Algorithmus, der in der algorithmischen Geometrie und der dynamischen Programmierung verwendet wird, um optimale Lösungen für Probleme zu finden, die mit einer Menge linearer Funktionen zusammenhängen. Er ermöglicht es, die optimale Linie aus einer Menge von Linien, die in einem 2D-Koordinatensystem dargestellt werden, effizient zu bestimmen. Der Trick basiert auf der Idee, dass die beste Lösung für ein gegebenes $x$ durch die konvexe Hülle der Linien in diesem Punkt bestimmt wird.

Der Algorithmus kann in zwei Phasen unterteilt werden: Hinzufügen von Linien zur Hülle und Abfragen der optimalen Linie für einen bestimmten Punkt $x$. Während der Hinzufügung werden nur Linien behalten, die potenziell die optimale Lösung für zukünftige Abfragen bieten, während nicht optimale Linien entfernt werden. Die Abfrage selbst erfolgt in logarithmischer Zeit, was den Convex Hull Trick besonders effizient macht, wenn viele Abfragen in einem gegebenen Bereich durchgeführt werden müssen.