Lebesgue Dominated Convergence

Das Stone-Cech-Theorem ist ein fundamentales Resultat in der Topologie, das sich mit der Erweiterung von Funktionen beschäftigt. Es besagt, dass jede kontinuierliche Funktion $f: X \to Y$ von einem kompakten Hausdorff-Raum $X$ in einen beliebigen topologischen Raum $Y$ auf einen kompakten Hausdorff-Raum $\beta X$ erweitert werden kann, wobei $\beta X$ die Stone-Cech-Kompaktifizierung von $X$ ist. Die Erweiterung $\tilde{f}: \beta X \to Y$ ist ebenfalls kontinuierlich und erfüllt die Eigenschaft, dass $\tilde{f}$ die ursprüngliche Funktion $f$ auf $X$ einschränkt, d.h. $\tilde{f}|_X = f$. Dieses Theorem hat bedeutende Anwendungen in der Funktionalanalysis und der algebraischen Topologie, insbesondere im Zusammenhang mit dem Konzept der Kompaktheit und der Erhaltung topologischer Eigenschaften durch Erweiterungen.

Das Schelling Segregation Model ist ein agentenbasiertes Modell, das von dem Ökonom Thomas Schelling in den 1970er Jahren entwickelt wurde, um die Dynamik der Segregation in sozialen Gruppen zu untersuchen. Es zeigt, wie Individuen, die eine Präferenz für Nachbarn ähnlicher Gruppen haben, zu einer räumlichen Segregation führen können, auch wenn ihre Präferenzen nicht extrem stark sind. Das Modell besteht aus einem Gitter, auf dem verschiedene Agenten platziert sind, die unterschiedliche Eigenschaften (z.B. Ethnizität oder soziale Klasse) repräsentieren.

Die Agenten sind unzufrieden, wenn ein bestimmter Prozentsatz ihrer Nachbarn nicht die gleiche Eigenschaft hat und bewegen sich entsprechend, um ihre Situation zu verbessern. Dies führt oft zu einem selbstverstärkenden Prozess, bei dem selbst kleine Präferenzen für Homogenität zu einer erheblichen Segregation führen können. Die Ergebnisse des Modells verdeutlichen, dass Segregation nicht unbedingt das Ergebnis von Diskriminierung oder Vorurteilen ist, sondern auch aus individuellen Entscheidungen und Präferenzen resultieren kann.

Das Konzept des Bilateral Monopoly Price Setting beschreibt eine Marktsituation, in der sowohl der Käufer als auch der Verkäufer monopolartige Macht haben. In dieser Struktur gibt es nur einen Anbieter und einen Nachfrager, was zu einer einzigartigen Verhandlungssituation führt. Beide Parteien können ihre Preise und Mengen durch Verhandlungen festlegen, was bedeutet, dass der Preis nicht durch den Marktmechanismus bestimmt wird, sondern durch die Interaktion zwischen Käufer und Verkäufer.

In einem bilateralen Monopol kann der Preis $P$ als Ergebnis der Verhandlungen zwischen den beiden Parteien angesehen werden und wird oft durch die Gleichgewichtsmengen $Q_d$ (Nachfragemenge) und $Q_s$ (Angebotsmenge) beeinflusst. Die Maximierung des Gesamtgewinns durch beide Parteien erfordert eine sorgfältige Abstimmung, um den Wohlfahrtsgewinn zu maximieren. Dies kann mathematisch als

ausgedrückt werden, wobei sowohl Erlös als auch Kosten von der jeweiligen Preisgestaltung abhängen.

Linear Parameter Varying Control (LPV) ist ein Regelungsverfahren, das speziell für Systeme entwickelt wurde, deren Dynamik sich über einen bestimmten Betriebsbereich verändert. Im Gegensatz zu klassischen linearen Regelungen, die für ein festes Modell arbeiten, berücksichtigt LPV die Variation von Parametern, die das Systemverhalten beeinflussen können. Dabei wird das System als eine Familie von linearen Modellen über einen Zustandsraummodell betrachtet, wobei die Parameter in Abhängigkeit von einem oder mehreren Variablen (z.B. Zeit oder Zustand) variieren.

Die Hauptidee hinter LPV ist, die Regelungsstrategie an die aktuellen Betriebsbedingungen anzupassen, um die Leistung zu optimieren. Dies geschieht typischerweise durch die Verwendung von Parameter-Schätzungen und Modellierungstechniken, die es ermöglichen, das Systemverhalten in Abhängigkeit von den aktuellen Parametern zu modellieren. Mathematisch kann ein LPV-System durch die Gleichung

beschrieben werden, wobei $p(t)$ die variablen Parameter darstellt, $A(p(t))$ und $B(p(t))$ die zustandsabhängigen Matrizen sind. LPV-Regelungen finden Anwendung in einer Vielzahl

Die Genome-Wide Association Study (GWAS) ist eine Forschungstechnik, die darauf abzielt, genetische Varianten zu identifizieren, die mit bestimmten Krankheiten oder Merkmalen in Verbindung stehen. Bei dieser Methode werden die Genome vieler Individuen untersucht, um Unterschiede in den DNA-Sequenzen zu finden, die mit einer bestimmten Erkrankung oder einem bestimmten Trait assoziiert sind. Typischerweise werden Millionen von genetischen Markern (z. B. Single Nucleotide Polymorphisms, SNPs) analysiert, um statistische Assoziationen zu identifizieren.

Die grundlegende Annahme von GWAS ist, dass bestimmte genetische Variationen einen Einfluss auf die Anfälligkeit für Krankheiten oder bestimmte Eigenschaften haben. Die Ergebnisse solcher Studien können dazu beitragen, biologische Mechanismen zu verstehen, die Krankheiten zugrunde liegen, und neue Ansätze für die Diagnose sowie Therapie zu entwickeln. Eine Herausforderung bei GWAS ist die Notwendigkeit, große Stichprobengrößen zu verwenden, um ausreichend statistische Power zu gewährleisten und falsch-positive Ergebnisse zu minimieren.

Die Bessel-Funktion ist eine spezielle Funktion, die in vielen Bereichen der Mathematik und Physik vorkommt, insbesondere in der Lösung von Differentialgleichungen, die zylindrische Symmetrie aufweisen. Es gibt verschiedene Typen von Bessel-Funktionen, wobei die am häufigsten verwendeten die Bessel-Funktionen erster Art $J_n(x)$ und zweiter Art $Y_n(x)$ sind. Diese Funktionen erscheinen häufig in Problemen der Wellenmechanik, Wärmeleitung und Elektromagnetismus, wo sie die Form von Wellen in zylindrischen Koordinaten beschreiben.

Die Bessel-Funktion erster Art $J_n(x)$ ist definiert durch die folgende Reihenentwicklung:

Hierbei ist $\Gamma$ die Gamma-Funktion. Bessel-Funktionen sind nützlich, da sie die Eigenschaften von Oszillationen und Wellen in nicht-euklidischen Geometrien modellieren können, was sie zu einem wichtigen Werkzeug in der theoretischen Physik und Ingenieurwissenschaft macht.