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Wave Equation

Die Wellen-Gleichung ist eine fundamentale partielle Differentialgleichung, die das Verhalten von Wellenphänomenen in verschiedenen physikalischen Kontexten beschreibt, wie z.B. Schall-, Licht- und Wasserwellen. Sie lautet allgemein:

∂2u∂t2=c2∇2u\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u∂t2∂2u​=c2∇2u

Hierbei steht u(x,t)u(x, t)u(x,t) für die Auslenkung der Welle an einem Punkt xxx zur Zeit ttt, ccc ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle, und ∇2\nabla^2∇2 ist der Laplace-Operator, der die räumliche Veränderung beschreibt. Die Wellen-Gleichung zeigt, dass die Beschleunigung einer Welle proportional zur räumlichen Krümmung ist, was bedeutet, dass sich Störungen in einem Medium (z.B. Luft oder Wasser) über die Zeit und den Raum ausbreiten. Anwendungen der Wellen-Gleichung finden sich in der Akustik, Optik und Elektromagnetismus, und sie spielt eine entscheidende Rolle in der modernen Physik und Ingenieurwissenschaft.

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Residuen-Satz der komplexen Analyse

Der Residuen-Satz in der komplexen Analysis ist ein leistungsstarkes Werkzeug zur Berechnung von Integralen komplexer Funktionen über geschlossene Kurven. Er besagt, dass das Integral einer analytischen Funktion f(z)f(z)f(z) über eine geschlossene Kurve CCC gleich 2πi2\pi i2πi multipliziert mit der Summe der Residuen von f(z)f(z)f(z) an den Singularitäten innerhalb von CCC ist. Mathematisch ausgedrückt:

∮Cf(z) dz=2πi∑Residuen von f innerhalb von C\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \sum \text{Residuen von } f \text{ innerhalb von } C∮C​f(z)dz=2πi∑Residuen von f innerhalb von C

Residuen sind die Koeffizienten der −1-1−1-ten Potenz in der Laurent-Reihe von f(z)f(z)f(z) um die Singularität. Der Residuen-Satz ermöglicht es, komplizierte Integrale zu lösen, indem man sich auf die Untersuchung dieser speziellen Punkte konzentriert. Dies ist besonders nützlich in der Physik und Ingenieurwissenschaft, wo solche Integrale häufig auftreten.

Theorie der leihbaren Mittel

Die Loanable Funds Theory ist ein wirtschaftswissenschaftliches Konzept, das beschreibt, wie der Zinssatz durch das Angebot und die Nachfrage nach Krediten bestimmt wird. In diesem Modell wird angenommen, dass alle Ersparnisse als "geliehene Mittel" verfügbar sind, die von Investoren nachgefragt werden. Das Angebot an geliehenen Mitteln wird hauptsächlich durch das Sparverhalten der Haushalte und Unternehmen beeinflusst, während die Nachfrage nach geliehenen Mitteln von Investitionen abhängt, die Unternehmen tätigen möchten.

Die Gleichgewichtszinsrate wird erreicht, wenn das Angebot an geliehenen Mitteln gleich der Nachfrage ist. Mathematisch kann dies ausgedrückt werden als:

S=IS = IS=I

wobei SSS das Angebot an Ersparnissen und III die Investitionen darstellt. Eine Erhöhung des Zinssatzes würde tendenziell das Angebot an Ersparnissen erhöhen und die Nachfrage nach Krediten senken, während ein niedrigerer Zinssatz das Gegenteil bewirken würde.

Hart-Weich-Magnetisch

Der Begriff Hard-Soft Magnetic bezieht sich auf Materialien, die sowohl harte als auch weiche magnetische Eigenschaften aufweisen. Harte magnetische Materialien haben eine hohe Koerzitivität, was bedeutet, dass sie nach dem Entfernen eines externen Magnetfeldes ihre Magnetisierung beibehalten. Diese Materialien werden häufig in Permanentmagneten verwendet. Im Gegensatz dazu besitzen weiche magnetische Materialien eine niedrige Koerzitivität und verlieren ihre Magnetisierung schnell, wenn das äußere Magnetfeld entfernt wird. Diese Eigenschaften machen sie ideal für Anwendungen wie Transformatoren und Elektromotoren.

In vielen modernen Technologien werden Kombinationen aus harten und weichen magnetischen Materialien eingesetzt, um die gewünschten magnetischen Eigenschaften zu optimieren und die Effizienz von elektrischen Geräten zu erhöhen.

Gamma-Funktionseigenschaften

Die Gamma-Funktion Γ(n)\Gamma(n)Γ(n) ist eine wichtige Erweiterung der Fakultätsfunktion, die für komplexe und reelle Zahlen definiert ist. Sie wird durch das Integral definiert:

Γ(n)=∫0∞tn−1e−t dt\Gamma(n) = \int_0^\infty t^{n-1} e^{-t} \, dtΓ(n)=∫0∞​tn−1e−tdt

für n>0n > 0n>0. Eine der herausragendsten Eigenschaften der Gamma-Funktion ist die Beziehung zur Fakultät, die besagt, dass Γ(n)=(n−1)!\Gamma(n) = (n-1)!Γ(n)=(n−1)! für natürliche Zahlen nnn. Zudem gilt die Rekursionsformel:

Γ(n+1)=n⋅Γ(n)\Gamma(n+1) = n \cdot \Gamma(n)Γ(n+1)=n⋅Γ(n)

Diese Eigenschaft erlaubt es, Werte der Gamma-Funktion für positive ganze Zahlen einfach zu berechnen. Darüber hinaus zeigt die Gamma-Funktion auch symmetrische Eigenschaften, wie z.B. Γ(1−z)Γ(z)=πsin⁡(πz)\Gamma(1-z) \Gamma(z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}Γ(1−z)Γ(z)=sin(πz)π​, die in der komplexen Analysis von großer Bedeutung sind.

Preiselastizität der Nachfrage

Die Elastizität der Nachfrage ist ein Maß dafür, wie sensibel die nachgefragte Menge eines Gutes auf Änderungen des Preises reagiert. Sie wird berechnet als das Verhältnis der prozentualen Änderung der nachgefragten Menge zur prozentualen Änderung des Preises. Mathematisch wird dies durch die Formel ausgedrückt:

Ed=% A¨nderung der nachgefragten Menge% A¨nderung des PreisesE_d = \frac{\%\ \text{Änderung der nachgefragten Menge}}{\%\ \text{Änderung des Preises}}Ed​=% A¨nderung des Preises% A¨nderung der nachgefragten Menge​

Ein Wert von Ed>1E_d > 1Ed​>1 zeigt an, dass die Nachfrage elastisch ist, was bedeutet, dass eine Preisänderung zu einer überproportionalen Änderung der nachgefragten Menge führt. Umgekehrt bedeutet Ed<1E_d < 1Ed​<1, dass die Nachfrage unelastisch ist; eine Preisänderung hat nur geringe Auswirkungen auf die nachgefragte Menge. Faktoren wie Verfügbarkeit von Substitute, Notwendigkeit des Gutes und den Anteil des Einkommens, das für das Gut ausgegeben wird, beeinflussen die Elastizität der Nachfrage erheblich.

Zelluläre Bioinformatik

Cellular Bioinformatics ist ein interdisziplinäres Forschungsfeld, das sich mit der Analyse und Interpretation von biologischen Daten auf zellulärer Ebene beschäftigt. Es kombiniert Techniken aus der Bioinformatik, Molekularbiologie und Systembiologie, um komplexe biologische Systeme zu verstehen. Durch den Einsatz von Computermodellen und Algorithmen werden große Datenmengen, wie Genomsequenzen oder Proteininteraktionen, verarbeitet und visualisiert. Ziel ist es, Muster und Zusammenhänge zu identifizieren, die für die Zellfunktion, Krankheitsmechanismen oder Therapieansätze von Bedeutung sind. Zu den häufig verwendeten Methoden gehören Maschinelles Lernen, Datenbankabfragen und Netzwerkanalysen, die es den Forschern ermöglichen, tiefere Einblicke in die zellulären Prozesse zu gewinnen.