Bestimmen Sie für die Folge $a_n = \frac{1}{n^2}$, $n = 0, 1, 2, ...$ die Folgen ∆$a_n$ und $∆^2a_n$.

Gegeben sind die Folgen $b_n = \frac{1}{5^n}$, $n = 0, 1, 2, ...$ und $c_n = \frac{n^2 5^n}{5^n (20n^2 + 2)}$, $n = 0, 1, 2, ...$. Bestimmen Sie unter Angabe detaillierter Rechenschritte den Grenzwert der Folge $d_n = b_n c_{n+1}$, $n = 0, 1, 2, ...$, falls dieser existiert.

Geben Sie drei Beispiele von Folgen $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ und $(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ mit $lim_{n \to \infty} x_n = \infty$ und $lim_{n \to \infty} y_n = 0$ an, sodass jeweils eine der folgenden Aussagen zutrifft. (i) $lim_{n \to \infty} x_n y_n = 0$. (ii) $lim_{n \to \infty} x_n y_n = \infty$. (iii) $lim_{n \to \infty} x_n y_n = -27$.

Untersuchen Sie die Funktion $f(x)$ auf Stetigkeit im Punkt $x = 3$ und berechnen Sie alle Nullstellen der Funktion auf $\mathbb{R}$.

Bestimmen Sie die erste Ableitung von $f(x)$ in allen Punkten, in denen diese existiert. Dort, wo nur die einseitige (rechts- bzw. linksseitige) Ableitung existiert, gebe man diese an.

Betrachten Sie nun die Funktion $g(y) = e^y + \frac{1}{y}$ für $y \in \mathbb{R}$. Bestimmen Sie die Funktion $h(y) = f(g(y))$ für $y \in \mathbb{R}$ und die erste Ableitung von $h(y)$ in allen Punkten, in denen diese existiert.

(i) Geben Sie eine explizite Funktionsvorschrift einer Funktion $p(x)$ an, die genannten Bedingungen 1. – 3. erfüllt. Es ist keine Begründung erforderlich. Hinweis: Geben Sie die Funktion mit einer Fallunterscheidung an, also in der Form p(x) = \begin{cases} ... & für ... \ ... & \text{für } ... \end{cases} (ii) Skizzieren Sie die Funktion $p(x)$ aus Aufgabenteil (i) im Intervall $[-3, 3]$. Hinweis: Sie können das Koordinatensystem auf der nachfolgenden Seite ausdrucken oder abzeichnen. (iii) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die zwischen der Funktion $p(x)$ aus (i) und der x-Achse zwischen $x = -3$ und $x = 1$ eingeschlossen ist. Hinweis: Es kann hilfreich sein, die gesuchte Fläche in der Skizze einzuzeichnen.

Wir betrachten eine stetige Funktion $q : [a,b] \to \mathbb{R}$ mit $a < b$. Zusätzlich gilt, dass das Integral von $q(x)$ auf dem Intervall $[a, b]$ null ist, d.h. $\int_a^b q(x)dx = 0$. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie die Aussagen, die korrekt sind, und geben Sie für die falschen Aussagen ein Gegenbeispiel an. (i) Es gilt $q(x) = 0$ für mindestens ein $x \in [a, b]$. (ii) Es gilt $\int_a^b q(x)^2 dx = 0$.

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen 1. Ordnung von f(x, y) an der Stelle (x, y) = (-1,2).

Bestimmen Sie die partielle Elastizität eƒ, an der Stelle (x, y) = (−1, 2).

Um wieviel Prozent erhöht sich bzw. reduziert sich f, wenn ausgehend von (x, y) = (-1,2) die Größe y um den Wert 0,06 erhöht wird und x = -1 bleibt, wobei die Frage näherungsweise unter Verwendung der partiellen Elastizität zu lösen ist.

(i) Bestimmen Sie mit Hilfe der Methode der Lagrang'schen Multiplikatoren die Punkte, in denen f(x, y) lokale Extrema besitzt, wenn x und y die Nebenbedin-gung x+y=erfüllen sollen. (Auf den Nachweis der hinreichenden Bedingung dürfen Sie verzichten.) Geben Sie den Lagrang'schen Multiplikator an. (ii) Um wie viel ändert sich näherungsweise der optimale Zielfunktionswert von ƒ, wenn in (i) die rechte Seite von = 1,5 um 0,27 auf 1,23 reduziert wird? (La-grang'schen Multiplikator verwenden!)

Bestimmen Sie die Stellen, an denen K(x, y) lokale Extrema bzw. Sattelpunkte be-sitzt, und stellen Sie fest, was jeweils vorliegt. Berechnen Sie dazu die Hessematrix H(x, y) und ihre Determinante D(x, y) für alle x, yЄ R.

Für welche (x, y), x, y Є R, ist die Funktion K(x, y) streng konvex und für welche streng konkav?

Betrachtet wird die Differenzengleichung $1 2 Yt+2+3+1 − t = 0$, t = 0, 1, 2, ... (i) Geben Sie die allgemeine Lösung der Differenzengleichung an. (ii) Bestimmen Sie die Lösung der Differenzengleichung für yo = 5y10, t = 0,1,..., wobei (y+) die Folge aus Teil (i) ist.

Betrachtet wird die Differenzengleichung $Yt+2

1

5 4t+1 - gt 4$, t = 0, 1, 2, ... (i) Zeigen Sie durch direktes Einsetzen in (*), dass$x-2+(-)$ eine Lösung der DGL ist.

t t = 0, 1, 2, . . . (Hinweis: Andere Vorgehensweisen werden nicht bewertet!) (ii) Betrachten Sie jetzt die Folge zt = 2 Zt. = ∞ Σ t=0

aus Teil (i) ist. Berechnen Sie