SS19

Es seien $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ und $B = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 3 \end{bmatrix}$. Berechnen Sie $AB$.

Berechnen Sie die Determinante von $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ -2 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3,3}$.

Die Matrix $A \in \mathbb{R}^{5,5}$ hänge von dem Parameter $a \in \mathbb{R}$ ab, und habe die Determinante $det(A) = a(2 - a)^2$. Für welche $a$ ist $A$ nicht invertierbar?

Bestimmen Sie die Lösungsmenge $L$ des reellen linearen Gleichungssystems $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$A = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ -2 & 1 \\ -2 & 4 \\ -1 & -10 \end{bmatrix}$ hat die Zeilenstufenform $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$. Bestimmen Sie eine Basis von $Bild(A)$ und die Dimension von $Kern(A)$.

Sei $A = \begin{bmatrix} 2i & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{C}^{2,2}$. Berechnen Sie das charakteristische Polynom von $A$ und geben Sie dieses in Linearfaktorzerlegung an.

Sei $A \in \mathbb{R}^{3,3}$ mit charakteristischem Polynom $p_A(z) = -(z - 3)(z^2 - 3z)$ gegeben. Bestimmen Sie die Eigenwerte und ihre algebraischen Vielfachheiten von $A$.

Die Matrix $B = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3,3}$ hat die Eigenwerte 2, -2 und 5. Bestimmen Sie den Eigenraum von $B$ zum Eigenwert 2, und die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts 5.

Schreiben Sie $z = 1 - i$ in Eulerdarstellung.

Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil von $z = \frac{1}{1 + i}$.

Welche der Skizzen beschreibt die Menge $M$ aller $z \in \mathbb{C}$ mit $Re(iz) \le 0$? Kreuzen Sie die richtige Skizze an.

Berechnen Sie $lim_{n \to \infty} \frac{n^5 + 3n^2 + 7}{7n^5 + n^3 + n}$

Die Folge $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ist rekursiv gegeben durch $a_0 = 2$ und $a_{n+1} = \frac{2 + a_n}{3}$. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt $a_n = \frac{1}{1 + \frac{3}{n}}$

Berechnen Sie das Integral $\int_1^2 x^2(x^3) dx$

Berechnen Sie das Integral $\int (x-1)sin(x) dx$

Berechnen Sie das Integral $\int \frac{x}{x^2 - x} dx$. Hinweis: Substitution.

Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich $D_f \subset \mathbb{R}$ und die Nullstellen von $f$.

Bestimmen Sie die lokalen Extremalstellen der Funktion $f$.

Bestimmen Sie die Grenzwerte $lim_{x \to \infty} f(x)$ und $lim_{x \to 0} f(x)$.

Zeigen Sie mit dem Differenzialquotienten, dass $f$ in $x = 2$ differenzierbar ist.

Bestimmen Sie für jedes $n \le \mathbb{N}$ das Taylorpolynom $n$-ten Grades von $f$ am Entwicklungspunkt $x_0 = 1$. Für welche $x \in \mathbb{R}$ konvergiert die zugehörige Taylorreihe gegen $f$?

Zeigen Sie: $f: [3, \infty[ \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \frac{1}{x^2}$ ist streng monoton fallend.

Berechnen Sie die Partialbruchzerlegung von $\frac{1}{x^2 - 1}$

Berechnen Sie $\int_2^3 \frac{1}{x^2 - 1} dx$

Berechnen Sie den Grenzwert $lim_{n \to \infty} \sum_{k=3}^n \frac{1}{k^2 - 1}$

Für welche $a \in \mathbb{R}$ sind die Vektoren $v = \begin{pmatrix} 8 \\ a \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}$ und $w = \begin{pmatrix} a \\ 10 \\ 1 \end{pmatrix}$ orthogonal bzgl. des Standardskalarprodukts in $\mathbb{R}^3$?

Betrachten Sie den Vektorraum $\mathbb{R}[x]_\le 2$ der Polynome höchstens zweiten Grades mit der Basis $B = \{p_1(x), p_2(x), p_3(x)\}$ mit $p_1(x) = x^2 + x + 1$, $p_2(x) = x + 1$, $p_3(x) = 1$, und die lineare Abbildung $f: \mathbb{R}[x]_\le 2 \rightarrow \mathbb{R}[x]_\le 2, p(x) \rightarrow xp'(x)$. Berechnen Sie die darstellende Matrix $f_{B,B}$ von $f$ bzgl. der Basis $B$.