WS 2018

Bestimmen Sie eine Zeilenstufenform von $[A | b]$ in Abhängigkeit von $a \in \mathbb{R}$.

Bestimmen Sie $Rang(A)$ und $Rang([A | b])$ in Abhängigkeit von $a \in \mathbb{R}$.

Für welche $a \in \mathbb{R}$ ist $b \in Bild(A)$?

Bestimmen Sie $Kern(A)$.

Bestimmen Sie eine Basis von $Bild(A)$.

Ist $Ax$ injektiv/surjektiv/bijektiv?

Berechnen Sie den Grenzwert $lim_{x \to 0} \frac{sin(21x)}{sin(2x)}$ und vereinfachen Sie das Ergebnis.

Bestimmen Sie alle Lösungen $z \in \mathbb{C}$ der Gleichung $z^3 = -4^3i$. \newline Hinweis: Sie können die Lösung in kartesischer oder Eulerdarstellung angeben.

Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich $D_f$ von $f$.

Berechnen Sie die ersten beiden Ableitungen von $f$ und bestimmen Sie das Monotonie-verhalten von $f$.

Bestimmen Sie die Grenzwerte von $f$ an den Rändern des Definitionsbereichs.

Ist $f: D_f \rightarrow \mathbb{R}$ bijektiv?

Bestimmen Sie das Taylorpolynom 2. Ordnung von $f$ mit Entwicklungspunkt $x_0 = 2$, sowie das zugehörige Restglied. \newline Hinweis: Zur Kontrolle: $f'(x) = 2(x-1)^{-3}$.

Schätzen Sie das Restglied für $2 \leq x \leq 3$ ab.

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für die n-te Ableitung, $n \geq 3$, von $f$ gilt $f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}(n-1)!(x-1)^{-n}$.

Bestimmen Sie das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von $A$. Geben Sie weiterhin die algebraischen Vielfachheiten aller Eigenwerte an.

Bestimmen Sie die Eigenräume und geometrischen Vielfachheiten aller Eigenwerte.

Ist $A$ diagonalisierbar? Falls ja, diagonalisieren Sie $A$, d.h. bestimmen Sie eine Diagonalmatrix $D = \mathbb{R}^{3,3}$ und eine invertierbare Matrix $S = \mathbb{R}^{3,3}$ mit $A = SDS^{-1}$. (Hinweis: $S^{-1}$ braucht nicht berechnet zu werden.)

$\int \sqrt{(x-2)(x+3)} dx$

$\int \frac{1}{2}x sin(x) dx$

$\int x \sqrt{2-x^2} dx$.

Ist $f$ eine gerade/ungerade Funktion? (Eine Erläuterung anhand einer Skizze ist ausreichend.)

Bestimmen Sie das reelle Fourierpolynom 1. Ordnung von $f$.