Take Klausur 2019 and compare your solution. From the course Analysis für Informatik at Technische Universität München (TUM).
Sei (an)nen eine Folge mit 0 < an < 1 für alle n E N. Zeigen Sie, dass die Folge (xn) nen gegeben durch die Rekursion x0 = αo und xn = xn-1an konvergiert.
Beweisen Sie, dass die Reihe ∑k=1∞k2+1+cos(kx)1 gleichmäßig in x∈R konvergiert.
Zeigen Sie mithilfe des Zwischewertsatzes, dass es eine Zahl x∈(71,π) gibt, so dass ln(21+cos2(x))e−sin(ln(x))=0.
Berechnen Sie für die folgenden Mengen Supremum und Infimum und entscheiden Sie, ob Maximum oder Minimum existieren.
A = {n ЄN: n² = (2k − 1)n für ein k = N}
B = {x Є R: x² − 1 > 0}
C = {x = R: |x − 1| − 1 < 0}
Sei f:R→R eine Funktion mit den folgenden Eigenschaften:
(i) f(x+y)=f(x)f(y) für alle x,y∈R,
(ii) f ist differenzierbar an der Stelle x=0 mit f′(0)=1.
Zeigen Sie mithilfe der Definition der Ableitung: f ist überall differenzierbar und f′(x)=f(x).
Beweisen Sie mithilfe von a), dass die Funktion g:R→R mit g(x)=f(x)e−x konstant ist.
Zeigen Sie mithilfe von b), dass g(x)=1 für alle x∈R.