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Section 4

Open Ended

4

Aufgabe 4

2 P

Es sei ein System mit Übertragungsfunktion $G$ gegeben, das mit einem Rampensignal
für $t<0$
$u_{Rampe}(t) = 0$
für $t\geq 0$
$u_{Rampe}(t) = t$
angeregt wird.

$u_{Rampe}(t)$ $G(s)$ $Y_1(t)$
System
Dem System sei nun ein Regler mit Übertragungsfunktion $K$ vorgeschaltet und werde mit
einem Einheitssprung $u_{sprung}(t) = \sigma(t)$ angeregt.

$U_{Sprung}(t)$ $K(s)$ $G(s)$ $Y_2(t)$
Regler System
Wie muss $K$ gewählt werden, damit $y_1(t) = y_2(t)$ für alle $t > 0$ , wenn in beiden Fällen System und Regler bei verschwindender Anfangsbedingung initialisiert werden?

Your answer:

Section MAIN-7a9f5731-3cfd-428b-9be1-79cbb20de3ef

Mixed

Aufgabe 1

3 P

Gegeben sei die Zusammenschaltung von zwei Systemen in Abbildung 1:
$u$
$\times_1 = A_1x_1+b_1u_1$
$Y_1 = c\sqrt{x_1}$
$x_2$
$=$ A_2x_2 +b_2u_2Y_2 = C\sqrt{x_2}$
Abbildung 1: Zusammenschaltung von Systemen.

a

2 P

Geben Sie die Zustandsraumdarstellung des Gesamtsystems an.

Your answer:

b

1 P

Wie setzen sich die Eigenwerte der Systemmatrix des Gesamtsystems zusammen?

Your answer:

Section MAIN-b531dde5-a016-45fe-a72b-e3c16052b22b

Mixed

Aufgabe 2

4 P

Gegeben sei das lineare System
$\dot{x}$
$=$
[-2 3 1]
[1 4]
$x +$ u$

a

2 P

Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Systemmatrix.

Your answer:

b

2 P

Bestimmen Sie die Lösung $y(t)$ für $u(t) = 0$ und den Anfangswert $x_0 = [3, 1]^T.$

Your answer:

Section MAIN-079e8531-061b-4c18-9c55-ec439a408f46

Mixed

Aufgabe 3

3 P

Zeigen Sie, dass folgende Matrizen jeweils keine zulässige Transitionsmatrix $\Phi(t)$ eines Systems der Form $\dot{x} = Ax$ darstellen.
$\Phi(t) = e^{At}$

a

1 P

$\Phi_1(t) = [4e^{3t} - e^{-t} \\ 3e^{-t} e^{3t}]$

Your answer:

b

2 P

$\Phi_2(t) = [2e^t - 2e^{2t} \\ te^{2t} e^{2t}]$

Your answer:

Section MAIN-c6542100-6380-42af-a60b-127ddda66c0f

Mixed

Aufgabe 5

7 P

Gegeben sei das folgende Blockschaltbild

$G_2(s)$
$U_1 +$
$ՂԱԶ$
eK(s)G_1(s)Y $r$
$v$
wobei $v$ eine skalare Konstante und $K$ , $G_1$ , $G_2$ Übertragungsfunktionen sind.

a

3 P

Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion $G_{ry}$ von $r$ nach $y$ .

Your answer:

b

2 P

Nehmen Sie nun an, dass die Übertragungsfunktion von $r$ nach $y$ BIBO-stabil ist.
Es werde jetzt als Führungsgrößer ein Einheitssprung angelegt, woraus sich die
Sprungantwort $y(t) = h(t)$ ergibt. Bestimmen Sie die Kostante $v$ in Abhängigkeit
von $K$ , $G_1$ und $G_2$ so, dass keine bleibende Regelabweichung auftritt, d.h. dass
$\lim_{t\to\infty} h(t) = 1$ .
Hinweis: Sollten Sie $G_{ry}$ nicht bestimmt haben, nehmen Sie an, dass $G_{ry}(s) = \frac{vM(s)}{s}$ und bestimmen Sie $v$ in Abhängigkeit von $M$ .

Your answer:

c

2 P

Es sei $v$ nun wie im vorherigen Aufgabenteil gewählt und $K(s) = k \in R$ , $G_1(s) = \frac{1}{s-1}$ und $G_2(s) = 0$ . Es werde wieder ein Einheitssprung als Führungsgröße $r$ angelegt.
Man misst den Ausgang zu
$y(t) = 1 - e^{-2t}$
Bestimmen Sie die Konstante $k$ .

Your answer: