Arbitrage Pricing

Die Pulse-Width Modulation (PWM) Efficiency beschreibt, wie effektiv ein PWM-System elektrische Energie in nutzbare Leistung umwandelt. PWM ist eine Technik, die häufig in der Leistungselektronik verwendet wird, um die Leistung an elektrische Lasten wie Motoren oder Beleuchtung zu steuern. Die Effizienz wird häufig anhand des Verhältnisses der durchschnittlichen Ausgangsleistung zur eingespeisten Leistung quantifiziert. Mathematisch kann dies durch die Formel

ausgedrückt werden, wobei $P_{\text{out}}$ die Ausgabe- und $P_{\text{in}}$ die Eingangsleistung darstellt. Eine hohe PWM-Effizienz ist entscheidend, um den Energieverbrauch zu minimieren und die Wärmeentwicklung zu reduzieren, was die Lebensdauer der Komponenten verlängert. Faktoren, die die PWM-Effizienz beeinflussen, sind unter anderem die Schaltfrequenz, die Qualität der verwendeten Bauteile sowie die Lastbedingungen.

Eine Cauchy-Folge ist eine spezielle Art von Zahlenfolge, die in der Analysis eine wichtige Rolle spielt. Eine Folge $(x_n)$ wird als Cauchy-Folge bezeichnet, wenn für jede noch so kleine positive Zahl $\varepsilon > 0$ ein natürlicher Zahlen $N$ existiert, sodass für alle $m, n \geq N$ gilt:

Das bedeutet, dass die Elemente der Folge ab einem bestimmten Index beliebig nah beieinander liegen. Cauchy-Folgen sind besonders wichtig, weil sie in vollständigen Räumen konvergieren, was bedeutet, dass sie einen Grenzwert haben, der ebenfalls im Raum liegt. In den reellen Zahlen und den komplexen Zahlen sind alle Cauchy-Folgen konvergent, was diesen Konzepten eine fundamentale Bedeutung in der Mathematik verleiht.

Das Fama-French Three-Factor Model erweitert das traditionelle Capital Asset Pricing Model (CAPM), indem es zusätzlich zu den marktweiten Risiken zwei weitere Faktoren einführt, die die Renditen von Aktien beeinflussen. Diese Faktoren sind:

1. Größenfaktor (SMB - Small Minus Big): Dieser Faktor misst die Renditedifferenz zwischen kleinen und großen Unternehmen. Historisch haben kleinere Unternehmen tendenziell höhere Renditen erzielt als größere Unternehmen.

2. Wertfaktor (HML - High Minus Low): Dieser Faktor erfasst die Renditedifferenz zwischen Unternehmen mit hohen Buchwert-Marktwert-Verhältnissen (Wertaktien) und solchen mit niedrigen Buchwert-Marktwert-Verhältnissen (Wachstumsaktien). Auch hier zeigen historische Daten, dass Wertaktien oft bessere Renditen erzielen als Wachstumsaktien.

Die mathematische Darstellung des Modells lautet:

Hierbei steht $R_i$ für die Rendite des Wertpapiers, $R_f$ für den risikofreien Zinssatz, $R_m$ für die Marktrendite, und $\alpha$, $\beta$, $

Das Principal-Agent-Modell beschreibt die Beziehung zwischen einem Principal (Auftraggeber) und einem Agenten (Auftragnehmer), wobei der Agent im Auftrag des Principals handelt. In diesem Modell entstehen Risiken, da der Agent möglicherweise nicht die gleichen Interessen oder Informationen hat wie der Principal. Um diese Risiken zu teilen und zu minimieren, können verschiedene Mechanismen verwendet werden, wie z.B. Anreize oder Vertragsgestaltungen.

Ein zentrales Element des Risikoteilungsprozesses ist die Herausforderung, wie der Principal sicherstellen kann, dass der Agent die gewünschten Handlungen wählt, während der Agent gleichzeitig für seine eigenen Risiken entschädigt wird. Oft wird dies durch leistungsbasierte Entlohnung erreicht, die den Agenten motiviert, im besten Interesse des Principals zu handeln. Mathematisch kann dies durch die Maximierung der erwarteten Nutzenfunktionen beider Parteien dargestellt werden, was typischerweise zu einem Gleichgewicht führt, das als das Agenten-Modell-Gleichgewicht bekannt ist.

Der Slip eines Induktionsmotors ist ein entscheidender Parameter, der die Differenz zwischen der synchronen Geschwindigkeit des Magnetfelds und der tatsächlichen Drehgeschwindigkeit des Rotors beschreibt. Er wird typischerweise in Prozent ausgedrückt und kann mit der folgenden Formel berechnet werden:

wobei $N_s$ die synchronen Geschwindigkeit in U/min und $N_r$ die tatsächliche Drehgeschwindigkeit des Rotors ist. Ein höherer Slip bedeutet, dass der Motor unter Last arbeitet und mehr Energie benötigt, um die erforderliche Drehmoment zu erzeugen. In der Praxis hat der Slip typischerweise Werte zwischen 2% und 6% bei voller Last, abhängig von der Konstruktion und dem Betrieb des Motors. Das Verständnis des Slips ist wichtig für die Effizienz und Leistung von Induktionsmotoren, da er direkt Einfluss auf den Energieverbrauch und die Wärmeentwicklung hat.

Die Pontryagin-Maximalprinzip ist ein fundamentales Konzept in der optimalen Steuerungstheorie, das von dem Mathematiker Lev Pontryagin in den 1950er Jahren entwickelt wurde. Es bietet eine Methode zur Bestimmung der optimalen Steuerung einer dynamischen Systembeschreibung, um ein bestimmtes Ziel zu erreichen, wie z.B. die Minimierung von Kosten oder die Maximierung eines Ertrags. Das Prinzip basiert auf der Formulierung eines sogenannten Hamiltonian $H$, der die Systemdynamik und die Zielfunktion kombiniert.

Der Grundgedanke des Prinzips ist, dass die optimale Steuerung $u^*(t)$ die notwendigen Bedingungen erfüllt, um den Hamiltonian zu maximieren. Mathematisch wird dies durch die Bedingung ausgedrückt:

Hierbei sind $x(t)$ die Zustandsvariablen, $u(t)$ die Steuerungsvariablen, und $\lambda(t)$ die adjungierten Variablen. Das Prinzip liefert auch eine Reihe von Differentialgleichungen, die die Dynamik der Zustands- und adjungierten Variablen beschreiben, sowie die Bedingungen für die Endpunkte. Somit ist das Pontryagin-Maximalprinzip ein