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Backstepping Nonlinear Control

Backstepping ist eine systematische Methode zur Regelung nichtlinearer Systeme, die auf der schrittweisen Konstruktion von Steuerungsgesetzen basiert. Der Ansatz beginnt mit der Identifikation eines geeigneten Ausgangspunktes, häufig einer stabilen Gleichgewichtslage, und arbeitet sich schrittweise zurück durch die Dynamik des Systems. Dabei wird für jeden Schritt ein Lyapunov-Funktion konstruiert, um die Stabilität des Systems sicherzustellen.

Ein typisches Verfahren besteht aus den folgenden Schritten:

  1. Modellierung des Systems: Das nichtlineare System wird in eine Form gebracht, die eine Rückführung ermöglicht.
  2. Konstruktion der Steuerung: Für jeden Zustand wird eine Steuerung abgeleitet, die die Stabilität gewährleistet.
  3. Integration der Steuerung: Die einzelnen Steuerungsgesetze werden kombiniert, um ein vollständiges Steuerungsgesetz zu erhalten.

Der Backstepping-Ansatz ist besonders nützlich für Systeme mit ungewöhnlichem Verhalten und kann in verschiedenen Anwendungen eingesetzt werden, darunter Robotik und Automatisierungstechnik.

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Fisher-Gleichung

Die Fisher-Gleichung beschreibt die Beziehung zwischen nominalen und realen Zinssätzen unter Berücksichtigung der Inflation. Sie lautet:

(1+i)=(1+r)(1+π)(1 + i) = (1 + r)(1 + \pi)(1+i)=(1+r)(1+π)

Dabei ist iii der nominale Zinssatz, rrr der reale Zinssatz und π\piπ die Inflationsrate. Die Gleichung zeigt, dass der nominale Zinssatz die Summe des realen Zinssatzes und der Inflationsrate reflektiert. In der Praxis verwenden Ökonomen oft eine annähernde Formulierung:

i≈r+πi \approx r + \pii≈r+π

Dies bedeutet, dass der nominale Zinssatz etwa gleich der Summe aus realem Zinssatz und Inflationsrate ist, was für viele wirtschaftliche Analysen nützlich ist. Die Fisher-Gleichung ist besonders wichtig für Investoren und Sparer, da sie hilft zu verstehen, wie sich Inflation auf die Kaufkraft von Zinsen auswirkt.

Cobb-Douglas-Produktion

Die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ist ein weit verbreitetes Modell in der Ökonomie, das die Beziehung zwischen den Inputs (Produktionsfaktoren) und dem Output (Produkt) beschreibt. Sie hat die allgemeine Form:

Q=ALαKβQ = A L^\alpha K^\betaQ=ALαKβ

Hierbei steht QQQ für die produzierte Menge, LLL für die Menge an Arbeit, KKK für die Menge an Kapital, AAA ist ein technischer Effizienzparameter, und α\alphaα und β\betaβ sind die Output-Elastizitäten, die die prozentuale Veränderung des Outputs bei einer prozentualen Veränderung der Inputs darstellen. Die Summe der Exponenten α+β\alpha + \betaα+β gibt Aufschluss über die Skalenerträge: Wenn die Summe gleich 1 ist, handelt es sich um konstante Skalenerträge; bei weniger als 1 um abnehmende und bei mehr als 1 um zunehmende Skalenerträge. Diese Funktion ist besonders nützlich, um die Effizienz der Produktionsprozesse zu analysieren und zu verstehen, wie die Faktoren Arbeit und Kapital zusammenwirken, um den Output zu maximieren.

CAPM-Modell

Das Capital Asset Pricing Model (CAPM) ist ein fundamentales Konzept in der Finanzwirtschaft, das die Beziehung zwischen dem Risiko und der erwarteten Rendite eines Vermögenswerts beschreibt. Es basiert auf der Annahme, dass Investoren für das Eingehen eines höheren Risikos eine höhere Rendite erwarten. Das Modell wird häufig verwendet, um die notwendige Rendite eines Vermögenswerts zu berechnen, und wird durch die folgende Gleichung dargestellt:

E(Ri)=Rf+βi⋅(E(Rm)−Rf)E(R_i) = R_f + \beta_i \cdot (E(R_m) - R_f)E(Ri​)=Rf​+βi​⋅(E(Rm​)−Rf​)

Hierbei ist E(Ri)E(R_i)E(Ri​) die erwartete Rendite des Vermögenswerts, RfR_fRf​ der risikofreie Zinssatz, βi\beta_iβi​ das Maß für das Risiko des Vermögenswerts im Vergleich zum Markt und E(Rm)E(R_m)E(Rm​) die erwartete Rendite des Marktes. Ein zentraler Punkt des CAPM ist die Marktrisiko-Prämie, die den zusätzlichen Ertrag darstellt, den Investoren für das Halten eines risikobehafteten Vermögenswerts im Vergleich zu einem risikofreien Vermögenswert erwarten. Das CAPM hilft Investoren, informierte Entscheidungen zu treffen, indem es eine quantitative Grundlage für die Bewertung von Investitionsrisiken bietet.

Termingeschäfte

Ein Forward Contract ist ein Finanzinstrument, das es zwei Parteien ermöglicht, einen zukünftigen Kauf oder Verkauf eines Vermögenswertes zu einem vorher festgelegten Preis (dem Forward-Preis) zu vereinbaren. Diese Verträge werden häufig im Rohstoffhandel, Devisenhandel und bei anderen Finanzinstrumenten verwendet, um sich gegen Preisschwankungen abzusichern. Anders als bei Futures-Kontrakten, die standardisiert sind und an Börsen gehandelt werden, sind Forward Contracts maßgeschneiderte Vereinbarungen, die direkt zwischen den Parteien ausgehandelt werden.

Die grundlegende Struktur eines Forward Contracts kann wie folgt beschrieben werden:

  • Vertragspartner: Die beiden Parteien, die den Vertrag eingehen.
  • Vermögenswert: Der Gegenstand des Vertrags (z.B. Rohstoffe, Währungen).
  • Forward-Preis: Der Preis, der im Voraus festgelegt wird.
  • Lieferdatum: Das Datum, an dem die Lieferung des Vermögenswertes stattfindet.

Forward Contracts sind besonders nützlich, um Risiken zu minimieren und eine gewisse Planungssicherheit hinsichtlich zukünftiger Preisbewegungen zu gewährleisten.

Spinnennetz-Modell

Das Cobweb Model ist ein wirtschaftliches Modell, das die Dynamik von Angebot und Nachfrage in einem Markt beschreibt, in dem die Produzenten ihre Produktionsentscheidungen auf der Grundlage von Preisen in der vorhergehenden Periode treffen. Es wird oft verwendet, um die Preis- und Mengenschwankungen in Märkten für landwirtschaftliche Produkte zu veranschaulichen. Der Prozess beginnt mit einer anfänglichen Preisänderung, die zu einer Anpassung der Angebotsmenge führt. Diese Veränderung führt dann zu einer weiteren Preisänderung in der nächsten Periode, die wiederum die Angebotsveränderung beeinflusst.

Das Modell zeigt typischerweise eine spiralförmige Bewegung, die entweder zu einem stabilen Gleichgewicht oder zu zyklischen Preisschwankungen führen kann, abhängig von der Elastizität von Angebot und Nachfrage. Die mathematische Darstellung kann durch die Gleichungen Pt=f(Qt−1)P_t = f(Q_{t-1})Pt​=f(Qt−1​) und Qt=g(Pt−1)Q_t = g(P_{t-1})Qt​=g(Pt−1​) erfolgen, wobei PPP der Preis und QQQ die Menge darstellt.

Runge-Kutta

Das Runge-Kutta-Verfahren ist eine weit verbreitete Methode zur numerischen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen. Es handelt sich um ein iteratives Verfahren, das die Lösung schrittweise approximiert, indem es mehrere Zwischenschritte innerhalb jedes Zeitintervalls berechnet. Die bekannteste Form ist das klassische 4. Ordnung Runge-Kutta-Verfahren, das vier Steigungen (K-Werte) pro Schritt verwendet, um eine genauere Schätzung des nächsten Punktes zu erhalten.

Die allgemeinen Schritte für das 4. Ordnung Runge-Kutta-Verfahren lauten:

  1. Berechne die ersten K-Werte:

    • k1=h⋅f(tn,yn)k_1 = h \cdot f(t_n, y_n)k1​=h⋅f(tn​,yn​)
    • k2=h⋅f(tn+h2,yn+k12)k_2 = h \cdot f(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{k_1}{2})k2​=h⋅f(tn​+2h​,yn​+2k1​​)
    • k3=h⋅f(tn+h2,yn+k22)k_3 = h \cdot f(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{k_2}{2})k3​=h⋅f(tn​+2h​,yn​+2k2​​)
    • k4=h⋅f(tn+h,yn+k3)k_4 = h \cdot f(t_n + h, y_n + k_3)k4​=h⋅f(tn​+h,yn​+k3​)
  2. Berechne den nächsten Wert: