Eigenvector Centrality

Die Total Variation ist ein wichtiges Konzept in der Variationsrechnung, das sich mit der Messung der „Schwankungen“ einer Funktion beschäftigt. Sie quantifiziert, wie stark eine Funktion von einem Punkt zum anderen variiert, und wird häufig verwendet, um das Verhalten von Funktionen zu analysieren, die in Anwendungen wie Bildverarbeitung oder Optimierung vorkommen.

Formal wird die totale Variation einer Funktion $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ durch den Ausdruck

definiert, wobei die Supremumsbildung über alle möglichen Zerlegungen $a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$ erfolgt. Eine Funktion hat endliche totale Variation, wenn dieser Wert endlich ist, was auch impliziert, dass die Funktion fast überall differenzierbar ist und ihre Ableitung in einem Lebesgue-sinn existiert. Die totale Variation spielt eine zentrale Rolle in der Analyse von Minimierungsproblemen, da sie oft als Maß für die „Glätte“ oder „Regelmäßigkeit“ einer Lösung verwendet wird.

Die Laplace-Gleichung ist eine wichtige partielle Differentialgleichung, die in der Mathematik und Physik weit verbreitet ist. Sie wird häufig in Bereichen wie der Elektrostatik, Fluiddynamik und der Wärmeleitung verwendet. Die Gleichung ist definiert als:

wobei $\nabla^2$ der Laplace-Operator ist und $\phi$ eine skalare Funktion darstellt. Diese Gleichung beschreibt das Verhalten von skalaren Feldern, in denen keine lokalen Quellen oder Senken vorhanden sind, was bedeutet, dass die Funktion $\phi$ in einem bestimmten Gebiet konstant ist oder gleichmäßig verteilt wird. Lösungen der Laplace-Gleichung sind als harmonische Funktionen bekannt und besitzen viele interessante Eigenschaften, wie z.B. die Erfüllung des Maximum-Prinzips, das besagt, dass der maximale Wert einer harmonischen Funktion innerhalb eines bestimmten Bereichs an seinem Rand erreicht wird.

Die Shannon Entropy ist ein Konzept aus der Informationstheorie, das von Claude Shannon in den 1940er Jahren entwickelt wurde. Sie misst die Unsicherheit oder Informationsdichte eines Zufallsprozesses oder eines Informationssystems. Mathematisch wird die Entropie $H$ einer diskreten Zufallsvariablen $X$ mit möglichen Ausprägungen $x_1, x_2, \ldots, x_n$ und Wahrscheinlichkeiten $P(x_i)$ durch die folgende Formel definiert:

Hierbei zeigt die Entropie, wie viel Information im Durchschnitt benötigt wird, um eine Ausprägung von $X$ zu codieren. Eine hohe Entropie bedeutet, dass es viele mögliche Ausprägungen mit ähnlicher Wahrscheinlichkeit gibt, was zu größerer Unsicherheit führt. Umgekehrt weist eine niedrige Entropie auf eine geringere Unsicherheit hin, da eine oder mehrere Ausprägungen dominieren. Die Shannon Entropy findet Anwendung in verschiedenen Bereichen, darunter Datenkompression, Kryptografie und maschinelles Lernen.

Die Kolmogorov Axiome bilden die Grundlage der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie und wurden von dem russischen Mathematiker Andrey Kolmogorov in den 1930er Jahren formuliert. Diese Axiome definieren eine Wahrscheinlichkeit als eine Funktion $P$, die auf einer Menge von Ereignissen basiert und die folgenden drei grundlegenden Eigenschaften erfüllt:

1. Nicht-Negativität: Für jedes Ereignis $A$ gilt $P(A) \geq 0$. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses niemals negativ sein kann.
2. Normierung: Die Wahrscheinlichkeit des gesamten Ereignisraums $S$ ist 1, also $P(S) = 1$. Dies stellt sicher, dass die Summe aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments gleich 100% ist.
3. Additivität: Für zwei disjunkte Ereignisse $A$ und $B$ gilt $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass entweder das Ereignis $A$ oder das Ereignis $B$ eintritt, gleich der Summe ihrer individuellen Wahrscheinlichkeiten ist.

Diese Axiome sind entscheidend, um mathematisch konsistente und nützliche Modelle für die Analyse von Zufallsphänomenen zu entwickeln.

Der Bayesian Nash-Gleichgewicht ist ein Konzept in der Spieltheorie, das sich mit Situationen beschäftigt, in denen Spieler unvollständige Informationen über die anderen Spieler haben. In einem solchen Spiel hat jeder Spieler eigene private Informationen, die seine Strategiewahl beeinflussen können. Im Gegensatz zum klassischen Nash-Gleichgewicht, bei dem alle Spieler vollständige Informationen haben, berücksichtigt der Bayesian Nash-Gleichgewicht die Unsicherheiten und Erwartungen über die Typen der anderen Spieler.

Ein Spieler wählt seine Strategie, um seinen erwarteten Nutzen zu maximieren, wobei er Annahmen über die Strategien und Typen der anderen Spieler trifft. Mathematisch wird ein Bayesian Nash-Gleichgewicht als ein Profil von Strategien $(s_1^*, s_2^*, \ldots, s_n^*)$ definiert, bei dem für jeden Spieler $i$ gilt:

Hierbei ist $U_i$ der Nutzen für Spieler $i$, $s_{-i}^*$ die Strategien der anderen Spieler und $s_i$ eine alternative Strategie für Spieler $i$.

Die Gamma-Funktion $\Gamma(n)$ ist eine wichtige Erweiterung der Fakultätsfunktion, die für komplexe und reelle Zahlen definiert ist. Sie wird durch das Integral definiert:

für $n > 0$. Eine der herausragendsten Eigenschaften der Gamma-Funktion ist die Beziehung zur Fakultät, die besagt, dass $\Gamma(n) = (n-1)!$ für natürliche Zahlen $n$. Zudem gilt die Rekursionsformel:

Diese Eigenschaft erlaubt es, Werte der Gamma-Funktion für positive ganze Zahlen einfach zu berechnen. Darüber hinaus zeigt die Gamma-Funktion auch symmetrische Eigenschaften, wie z.B. $\Gamma(1-z) \Gamma(z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}$, die in der komplexen Analysis von großer Bedeutung sind.