Graphen-Bandlücken-Engineering

Banachsche Fixpunktsatz

Das Banach Fixed-Point Theorem, auch bekannt als das kontraktive Fixpunkttheorem, besagt, dass jede kontraktive Abbildung in einem vollständigen metrischen Raum genau einen Fixpunkt hat. Ein Fixpunkt $x$ einer Abbildung $T$ ist ein Punkt, der die Bedingung $T(x) = x$ erfüllt. Die Bedingung der Kontraktivität bedeutet, dass es eine Konstante $0 \leq k < 1$ gibt, sodass für alle $x, y$ im Raum gilt:

d(T(x), T(y)) \leq k \cdot d(x, y)

Hierbei ist $d$ die Distanzfunktion im metrischen Raum. Das Theorem ist besonders wichtig in der Analysis und in der Lösung von Differentialgleichungen, da es nicht nur die Existenz eines Fixpunkts garantiert, sondern auch einen Algorithmus zur Annäherung an diesen Fixpunkt beschreibt, indem wiederholt die Abbildung $T$ auf einen Startwert angewendet wird.

Implizites Runge-Kutta

Der implizite Runge-Kutta-Algorithmus ist eine erweiterte Methode zur Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, die besonders vorteilhaft ist, wenn es um steife Probleme geht. Im Gegensatz zu expliziten Methoden, bei denen der nächste Schritt direkt aus den bekannten Werten berechnet wird, erfordert die implizite Methode die Lösung eines Gleichungssystems, das die Unbekannten des nächsten Schrittes enthält.

Die allgemeine Form einer impliziten Runge-Kutta-Methode kann durch folgende Gleichungen dargestellt werden:

y_{n+1} = y_n + h \sum_{i=1}^{s} b_i k_i

k_i = f(t_n + c_i h, y_n + h \sum_{j=1}^{i} a_{ij} k_j)

Hierbei sind $h$ die Schrittweite, $k_i$ die Stützwerte und $a_{ij}, b_i, c_i$ die Butcher-Tabelle Parameter, die die Methode definieren. Der Hauptvorteil dieser Methoden liegt in ihrer Fähigkeit, stabilere Lösungen für Probleme zu bieten, die schnelle Änderungen oder große Unterschiede in den Skalen aufweisen. Daher sind sie besonders nützlich in der Ingenieurwissenschaft und Physik, wo steife Differentialgleichungen häufig auftreten.

Lyapunov-Funktion-Stabilität

Die Lyapunov-Funktion ist ein zentrales Konzept in der Stabilitätstheorie dynamischer Systeme. Sie dient dazu, die Stabilität eines Gleichgewichtspunkts zu analysieren, indem man eine geeignete Funktion $V(x)$ definiert, die die Energie oder das "Abstand" des Systems von diesem Punkt misst. Für ein System, das durch die Differentialgleichung $\dot{x} = f(x)$ beschrieben wird, gilt, dass der Gleichgewichtspunkt $x = 0$ stabil ist, wenn es eine Lyapunov-Funktion gibt, die die folgenden Bedingungen erfüllt:

Positive Definitheit: $V(x) > 0$ für alle $x \neq 0$ und $V(0) = 0$ .
Negative Definitheit der Ableitung: $\dot{V}(x) = \frac{dV}{dt} < 0$ für alle $x$ in der Umgebung von $0$ .

Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, zeigt dies, dass das System in der Nähe des Gleichgewichtspunkts stabil ist, da die Energie des Systems im Laufe der Zeit abnimmt und es dazu tendiert, sich dem Gleichgewichtspunkt zu nähern.

Phillips Trade-Off

Der Phillips Trade-Off beschreibt die inverse Beziehung zwischen Inflation und Arbeitslosigkeit, die ursprünglich von dem neuseeländischen Ökonomen A.W. Phillips formuliert wurde. Laut dieser Theorie existiert ein kurzfristiger Kompromiss, bei dem eine Senkung der Arbeitslosigkeit mit einer Erhöhung der Inflation einhergeht. Dies kann durch die folgende Beziehung verdeutlicht werden: Wenn die Arbeitslosigkeit unter ein bestimmtes Niveau sinkt, steigen die Löhne, was zu höheren Produktionskosten und folglich zu einer steigenden Inflation führt.

In der langfristigen Betrachtung wird jedoch argumentiert, dass dieser Trade-Off nicht besteht, da die Volkswirtschaft sich an die Inflationserwartungen anpasst, was zu einer natürlichen Arbeitslosenquote führt. Dies bedeutet, dass der Phillips Trade-Off vor allem in kurzfristigen wirtschaftlichen Szenarien relevant ist, während langfristig die Inflation von anderen Faktoren, wie der Geldpolitik und den Erwartungen der Wirtschaftssubjekte, beeinflusst wird.

Wellengleichung

Die Wellen-Gleichung ist eine fundamentale partielle Differentialgleichung, die das Verhalten von Wellenphänomenen in verschiedenen physikalischen Kontexten beschreibt, wie z.B. Schall-, Licht- und Wasserwellen. Sie lautet allgemein:

\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u

Hierbei steht $u(x, t)$ für die Auslenkung der Welle an einem Punkt $x$ zur Zeit $t$ , $c$ ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle, und $\nabla^2$ ist der Laplace-Operator, der die räumliche Veränderung beschreibt. Die Wellen-Gleichung zeigt, dass die Beschleunigung einer Welle proportional zur räumlichen Krümmung ist, was bedeutet, dass sich Störungen in einem Medium (z.B. Luft oder Wasser) über die Zeit und den Raum ausbreiten. Anwendungen der Wellen-Gleichung finden sich in der Akustik, Optik und Elektromagnetismus, und sie spielt eine entscheidende Rolle in der modernen Physik und Ingenieurwissenschaft.

Thermische Ausdehnung

Thermische Ausdehnung beschreibt das Phänomen, bei dem sich Stoffe bei Erwärmung ausdehnen und bei Abkühlung zusammenziehen. Diese Veränderung im Volumen oder in den Abmessungen eines Materials ist auf die erhöhte kinetische Energie der Teilchen zurückzuführen, die bei höheren Temperaturen stärker schwingen. Es gibt verschiedene Formen der thermischen Ausdehnung, darunter:

Längenausdehnung: Bei festen Stoffen führt eine Temperaturerhöhung zu einer Verlängerung der Längenmaße.
Flächenexpansion: Diese bezieht sich auf die Änderung der Oberfläche eines Materials.
Volumenausdehnung: Diese tritt in Flüssigkeiten und Gasen auf und beschreibt die Veränderung des gesamten Volumens.

Die mathematische Beziehung, die die Längenausdehnung beschreibt, wird durch die Formel $\Delta L = \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T$ gegeben, wobei $\Delta L$ die Änderung der Länge, $\alpha$ der lineare Ausdehnungskoeffizient, $L_0$ die ursprüngliche Länge und $\Delta T$ die Temperaturänderung ist. Dieses Konzept ist in vielen Anwendungen von entscheidender Bedeutung, beispielsweise beim Bau von Brücken und Schienen, um sicherzustellen, dass die Materialien sich bei Temperaturänderungen entsprechend verhalten.

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