Ferroelectric Domains

Das Runge'sche Approximations-Theorem ist ein fundamentales Resultat in der Approximationstheorie, das sich mit der Annäherung von Funktionen durch rationale Funktionen beschäftigt. Es besagt, dass jede stetige Funktion, die auf einem kompakten Intervall definiert ist, durch rationale Funktionen beliebig gut approximiert werden kann, wenn man genügend viele Pole außerhalb des Intervalls wählt.

Insbesondere gilt:

1. Wenn $f$ eine Funktion ist, die auf einem kompakten Intervall $[a, b]$ stetig ist, dann kann für jede positive Zahl $\epsilon$ eine rationale Funktion $R$ gefunden werden, so dass der Unterschied $|f(x) - R(x)| < \epsilon$ für alle $x$ in $[a, b]$ ist.
2. Die Pole der rationalen Funktionen sollten außerhalb des Intervalls liegen, was bedeutet, dass sie nicht in der Nähe der Punkte $a$ und $b$ liegen dürfen.

Das Theorem hat weitreichende Anwendungen in der numerischen Mathematik und der Signalverarbeitung, da es eine Methode zur Approximation komplexer Funktionen bietet.

Computational General Equilibrium (CGE) Modelle sind leistungsstarke Werkzeuge in der Wirtschaftswissenschaft, die zur Analyse der Wechselwirkungen zwischen verschiedenen Märkten und Sektoren einer Volkswirtschaft dienen. Diese Modelle basieren auf der Annahme, dass alle Märkte gleichzeitig im Gleichgewicht sind, was bedeutet, dass Angebot und Nachfrage in jedem Markt übereinstimmen. Ein typisches CGE-Modell berücksichtigt verschiedene Akteure, wie Haushalte, Unternehmen und den Staat, und analysiert deren Entscheidungen in Bezug auf Produktion, Konsum und Handel.

Die mathematische Grundlagen dieser Modelle sind oft in Form von Gleichungen formuliert, die die Beziehungen zwischen den Variablen darstellen. Zum Beispiel kann die Produktionsfunktion eines Unternehmens durch die Gleichung

beschrieben werden, wobei $Y$ die produzierte Menge, $K$ das Kapital und $L$ die Arbeit darstellt. CGE-Modelle ermöglichen es Ökonomen, die Auswirkungen von politischen Maßnahmen, technologischen Veränderungen oder externen Schocks auf die gesamte Wirtschaft zu simulieren, wodurch sie wertvolle Einblicke in die Komplexität wirtschaftlicher Systeme bieten.

Computational Finance Modeling bezieht sich auf den Einsatz von mathematischen Modellen und algorithmen, um finanzielle Probleme zu analysieren und zu lösen. Diese Modelle nutzen verschiedene Techniken, darunter stochastische Prozesse, optimale Steuerung und numerische Methoden, um das Verhalten von Finanzmärkten und -instrumenten vorherzusagen. Ein häufiges Beispiel ist die Bewertung von Derivaten, wo Modelle wie das Black-Scholes-Modell zur Anwendung kommen, um den Preis von Optionen zu bestimmen.

Ein zentraler Aspekt ist die Simulation von möglichen zukünftigen Szenarien, was häufig mithilfe von Monte-Carlo-Methoden geschieht. Diese Methoden erlauben es, die Unsicherheit von Märkten zu quantifizieren und das Risiko von Investitionen zu bewerten. In der heutigen Zeit sind Computermodelle unverzichtbar für Investmentbanken, Hedgefonds und Portfolio-Management, da sie helfen, fundierte Entscheidungen auf der Grundlage von komplexen Datenanalysen zu treffen.

Die Effizienz eines thermoelectric Generators (TEG) beschreibt, wie effektiv das Gerät Temperaturunterschiede in elektrische Energie umwandelt. Diese Effizienz wird häufig durch den Dimensionless Figure of Merit $ZT$ charakterisiert, der von den thermischen und elektrischen Eigenschaften der verwendeten Materialien abhängt. Ein höherer $ZT$ Wert bedeutet eine bessere Effizienz, wobei Werte über 1 als vielversprechend gelten.

Die mathematische Beziehung zur Effizienz kann grob durch die Gleichung:

beschrieben werden, wobei $T_H$ die Temperatur der heißen Seite und $T_C$ die Temperatur der kalten Seite ist. Die Herausforderung besteht darin, Materialien mit einem hohen $ZT$ zu finden, die gleichzeitig eine hohe elektrische Leitfähigkeit und eine geringe Wärmeleitfähigkeit aufweisen. Somit ist die Erforschung neuer Materialien und Technologien entscheidend für die Verbesserung der Effizienz von thermoelectric Generators.

Die Legendre-Transformation ist ein mächtiges mathematisches Werkzeug, das in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Wirtschaft Anwendung findet. Sie ermöglicht es, zwischen verschiedenen Darstellungen einer Funktion zu wechseln, insbesondere zwischen den Variablen einer Funktion und ihren Ableitungen. Ein häufiges Beispiel ist die Anwendung in der Thermodynamik, wo die Legendre-Transformation verwendet wird, um von der inneren Energie $U(S,V)$ zur Enthalpie $H(S,P)$ zu gelangen, wobei $S$ die Entropie, $V$ das Volumen und $P$ der Druck ist.

In der Optimierung wird die Legendre-Transformation genutzt, um duale Probleme zu formulieren, wodurch die Suche nach Minimum oder Maximum von Funktionen erleichtert wird. Außerdem findet sie in der Theoretischen Physik Anwendung, insbesondere in der Hamiltonschen Mechanik, wo sie hilft, die Bewegungsgleichungen aus den Energieformen abzuleiten. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Legendre-Transformation nicht nur mathematische Eleganz bietet, sondern auch praktische Lösungen in vielen Disziplinen ermöglicht.

Die Kalman Controllability ist ein Konzept aus der Regelungstechnik, das beschreibt, ob ein System durch geeignete Steuerungseingaben vollständig in einen gewünschten Zustand überführt werden kann. Ein System wird als kontrollierbar angesehen, wenn es möglich ist, von jedem Zustand zu einem beliebigen anderen Zustand innerhalb einer endlichen Zeitspanne zu gelangen. Mathematisch kann die Kontrollierbarkeit eines linearen Systems, beschrieben durch die Zustandsraumdarstellung $\dot{x} = Ax + Bu$, durch die Kontrollierbarkeitsmatrix $C$ beurteilt werden, definiert als:

Hierbei ist $n$ die Dimension des Zustandsraums. Ist die Determinante der Matrix $C$ ungleich null (d.h. $\text{det}(C) \neq 0$), ist das System kontrollierbar. Die Kalman Controllability ist somit entscheidend, um die Machbarkeit von Regelungsstrategien zu bewerten und sicherzustellen, dass das System auf gewünschte Inputs reagiert.