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Lorentz Transformation

Die Lorentz-Transformation ist ein fundamentales Konzept der speziellen Relativitätstheorie, das beschreibt, wie die Koordinaten von Raum und Zeit zwischen zwei Bezugssystemen, die sich relativ zueinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, umgerechnet werden. Sie wurde von dem niederländischen Physiker Hendrik Lorentz formuliert und ist entscheidend für das Verständnis der Relativität von Zeit und Raum. Die Transformation zeigt, dass Zeit und Raum nicht absolut sind, sondern von der Relativgeschwindigkeit der Beobachter abhängen.

Die wichtigsten Formeln der Lorentz-Transformation lauten:

x′=γ(x−vt)x' = \gamma (x - vt)x′=γ(x−vt) t′=γ(t−vxc2)t' = \gamma \left( t - \frac{vx}{c^2} \right)t′=γ(t−c2vx​)

Hierbei sind:

  • x′x'x′ und t′t't′ die Koordinaten im bewegten Bezugssystem,
  • xxx und ttt die Koordinaten im ruhenden Bezugssystem,
  • vvv die Relativgeschwindigkeit zwischen den beiden Systemen,
  • ccc die Lichtgeschwindigkeit,
  • γ=11−v2c2\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}γ=1−c2v2​​1​ der Lorentz-Faktor, der die Effekte der Zeitdilatation und Längenkontraktion quantifiziert.

Diese Transformation zeigt,

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Lebesgue-Stieltjes-Integral

Das Lebesgue-Stieltjes Integral ist eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals, das es ermöglicht, Funktionen in Bezug auf eine nicht notwendigerweise stetige Funktion zu integrieren. Es wird definiert für eine Funktion f:[a,b]→Rf: [a, b] \to \mathbb{R}f:[a,b]→R und eine monotone Funktion g:[a,b]→Rg: [a, b] \to \mathbb{R}g:[a,b]→R. Das Integral wird durch die Notation

∫abf(x) dg(x)\int_a^b f(x) \, dg(x)∫ab​f(x)dg(x)

ausgedrückt. Hierbei handelt es sich um eine Form der Integration, die auch bei diskontinuierlichen oder nicht stetigen Funktionen anwendbar ist. Der Schlüssel zum Verständnis des Lebesgue-Stieltjes Integrals liegt in der Betrachtung der Veränderung von ggg und der Gewichtung der Werte von fff entsprechend dieser Veränderung. Diese Integrationsform findet Anwendungen in verschiedenen Bereichen, einschließlich der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Finanzmathematik, da sie eine breite Klasse von Funktionen und Maßsystemen abdeckt.

Stochastischer Abschlag

Der stochastische Diskontierungsfaktor ist ein Konzept in der Finanzwirtschaft, das verwendet wird, um den Zeitwert von Geld zu bewerten, insbesondere unter Unsicherheit. Er beschreibt, wie zukünftige Zahlungen oder Cashflows in der Gegenwart bewertet werden, wobei Unsicherheit über zukünftige Ereignisse berücksichtigt wird. Dies wird häufig durch einen diskontierenden Faktor DtD_tDt​ dargestellt, der die Wahrscheinlichkeit und den Wert zukünftiger Cashflows in einem stochastischen Rahmen berücksichtigt.

Mathematisch kann der stochastische Diskontierungsfaktor als Dt=e−rtTD_t = e^{-r_t T}Dt​=e−rt​T formuliert werden, wobei rtr_trt​ die zeitabhängige, stochastische Diskontierungsrate ist und TTT die Zeit bis zur Zahlung darstellt. Dieser Ansatz ist besonders wichtig in der Bewertung von Finanzinstrumenten, da er es ermöglicht, die Risiken und Unsicherheiten, die mit zukünftigen Zahlungen verbunden sind, angemessen zu berücksichtigen. In der Praxis wird der stochastische Diskontierungsfaktor häufig in Modellen wie dem Black-Scholes-Modell oder in der Preisbildung von Derivaten verwendet.

UCB-Algorithmus in Mehrarmigen Banditen

Der UCB-Algorithmus (Upper Confidence Bound) ist eine effektive Strategie zur Lösung des Multi-Armed Bandit-Problems, das in der Entscheidungsfindung und im maschinellen Lernen häufig vorkommt. Bei diesem Problem steht ein Agent vor der Wahl, aus mehreren Optionen (Armen) zu wählen, wobei jede Option eine unbekannte Belohnungsverteilung hat. Der UCB-Algorithmus verfolgt einen explorativen Ansatz, indem er sowohl die mittlere Belohnung jeder Option als auch die Unsicherheit über diese Schätzungen berücksichtigt.

Die zentrale Idee des UCB-Algorithmus besteht darin, eine obere Schranke für die geschätzte Belohnung jeder Option zu berechnen, die sowohl die bisherige Leistung als auch die Anzahl der Male, die die Option gewählt wurde, einbezieht. Diese Schranke wird wie folgt definiert:

UCBt(a)=X^t(a)+2ln⁡tNt(a)UCB_t(a) = \hat{X}_t(a) + \sqrt{\frac{2 \ln t}{N_t(a)}}UCBt​(a)=X^t​(a)+Nt​(a)2lnt​​

Hierbei ist X^t(a)\hat{X}_t(a)X^t​(a) die geschätzte durchschnittliche Belohnung der Option aaa zum Zeitpunkt ttt, Nt(a)N_t(a)Nt​(a) die Anzahl der Ziehungen von Option aaa, und ln⁡t\ln tlnt der natürliche Logarithmus von ttt. Der Agent wählt dann

Gamma-Funktionseigenschaften

Die Gamma-Funktion Γ(n)\Gamma(n)Γ(n) ist eine wichtige Erweiterung der Fakultätsfunktion, die für komplexe und reelle Zahlen definiert ist. Sie wird durch das Integral definiert:

Γ(n)=∫0∞tn−1e−t dt\Gamma(n) = \int_0^\infty t^{n-1} e^{-t} \, dtΓ(n)=∫0∞​tn−1e−tdt

für n>0n > 0n>0. Eine der herausragendsten Eigenschaften der Gamma-Funktion ist die Beziehung zur Fakultät, die besagt, dass Γ(n)=(n−1)!\Gamma(n) = (n-1)!Γ(n)=(n−1)! für natürliche Zahlen nnn. Zudem gilt die Rekursionsformel:

Γ(n+1)=n⋅Γ(n)\Gamma(n+1) = n \cdot \Gamma(n)Γ(n+1)=n⋅Γ(n)

Diese Eigenschaft erlaubt es, Werte der Gamma-Funktion für positive ganze Zahlen einfach zu berechnen. Darüber hinaus zeigt die Gamma-Funktion auch symmetrische Eigenschaften, wie z.B. Γ(1−z)Γ(z)=πsin⁡(πz)\Gamma(1-z) \Gamma(z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}Γ(1−z)Γ(z)=sin(πz)π​, die in der komplexen Analysis von großer Bedeutung sind.

Zeta-Funktions-Nullen

Die Zeta-Funktion ist eine komplexe Funktion, die in der Zahlentheorie eine zentrale Rolle spielt, insbesondere in der Untersuchung der Verteilung von Primzahlen. Die Zeros der Zeta-Funktion, also die Werte sss für die die Gleichung ζ(s)=0\zeta(s) = 0ζ(s)=0 gilt, sind von großem Interesse. Insbesondere wird vermutet, dass alle nicht-trivialen Zeros auf der kritischen Linie Re(s)=12\text{Re}(s) = \frac{1}{2}Re(s)=21​ liegen, was als die Riemann-Hypothese bekannt ist. Die Zeta-Funktion selbst wird definiert durch die unendliche Reihe:

ζ(s)=∑n=1∞1nsfu¨r  Re(s)>1\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \quad \text{für} \; \text{Re}(s) > 1ζ(s)=n=1∑∞​ns1​fu¨rRe(s)>1

und kann durch analytische Fortsetzung auf andere Bereiche der komplexen Ebene erweitert. Die Zeta-Nullstellen haben tiefgreifende Implikationen für die Verteilung von Primzahlen, da sie eng mit der Funktionalität der Primzahlverteilung verknüpft sind.

Flexible Perowskit-Photovoltaik

Flexible Perovskite-Photovoltaik ist eine innovative Technologie, die auf Perovskit-Materialien basiert, um Sonnenlicht in elektrische Energie umzuwandeln. Diese Materialien zeichnen sich durch ihre hohe Lichtabsorption und gute Elektronentransport-Eigenschaften aus, was zu einer hohen Effizienz bei der Umwandlung von Sonnenlicht führt. Im Gegensatz zu herkömmlichen Silizium-Solarzellen können flexible Perovskite-Module auf leichten und biegsamen Substraten hergestellt werden, wodurch sie vielseitig einsetzbar sind, z.B. in tragbaren Geräten oder auf gewölbten Oberflächen.

Ein weiterer Vorteil dieser Technologie ist die potenzielle Kostensenkung bei der Herstellung, da die Materialien oft einfacher und mit weniger Energieaufwand produziert werden können. Dennoch stehen flexible Perovskite-Photovoltaik-Anwendungen Herausforderungen gegenüber, insbesondere hinsichtlich der Stabilität und Langzeitbeständigkeit der Materialien unter realen Umweltbedingungen.