New Keynesian Sticky Prices

Hyperbolic Discounting ist ein psychologisches Konzept, das beschreibt, wie Menschen zukünftige Belohnungen bewerten und wie sich diese Bewertung über die Zeit verändert. Im Gegensatz zur exponentiellen Diskontierung, bei der zukünftige Belohnungen konstant abnehmen, zeigt die hyperbolische Diskontierung, dass die Abwertung zukünftiger Belohnungen zunächst stark ist, aber mit zunehmendem Abstand zur Gegenwart langsamer wird. Dies führt oft zu irrationalem Verhalten, da kurzfristige Belohnungen überbewertet und langfristige Belohnungen unterbewertet werden.

Mathematisch kann die hyperbolische Diskontierungsfunktion wie folgt dargestellt werden:

Hierbei ist $V(t)$ der Wert einer zukünftigen Belohnung, $V_0$ der Wert der sofortigen Belohnung, $k$ eine Konstante, die die Diskontierungsrate beschreibt, und $t$ die Zeit bis zur Belohnung. Diese Diskontierung kann zu Problemen in der Entscheidungsfindung führen, insbesondere in Bereichen wie Konsumverhalten, Gesundheit und Finanzen, wo langfristige Planung erforderlich ist.

Adaboost, kurz für "Adaptive Boosting", ist ein populärer Ensemble-Lernalgorithmus, der darauf abzielt, die Genauigkeit von Klassifikatoren zu verbessern. Der Ansatz basiert auf der Idee, mehrere schwache Klassifikatoren, die nur geringfügig besser als Zufall sind, zu einem starken Klassifikator zu kombinieren. Dies geschieht durch die iterative Schulung von Klassifikatoren, wobei jeder nachfolgende Klassifikator sich auf die Fehler der vorhergehenden konzentriert.

Die Gewichtung der Trainingsbeispiele wird dabei angepasst: Beispiele, die falsch klassifiziert wurden, erhalten höhere Gewichte, sodass der nächste Klassifikator diese Beispiele besser erkennen kann. Mathematisch kann die Gewichtung durch die Formel

ausgedrückt werden, wobei $w_{i}^{(t)}$ das Gewicht des $i$-ten Beispiels nach der $t$-ten Iteration, $\alpha_t$ die Gewichtung des $t$-ten Klassifikators, $y_i$ das wahre Label und $h_t(x_i)$ die Vorhersage des Klassifikators ist. Am Ende werden die Vorhersagen der einzelnen Klassifikatoren gewichtet und aggregiert, um die finale Entscheidung zu

Majorana-Fermionen sind spezielle Teilchen, die 1937 von dem Physiker Ettore Majorana vorgeschlagen wurden. Sie unterscheiden sich von anderen Fermionen dadurch, dass sie ihre eigenen Antiteilchen sind; das bedeutet, ein Majorana-Fermion ist identisch mit seinem Antiteilchen. Diese Eigenschaft führt zu interessanten Konsequenzen in der Quantenmechanik und der theoretischen Physik, insbesondere in der Supersymmetrie und in der Kondensierten Materie.

In der festen Materie können Majorana-Fermionen als quasiteilchen auftreten, die in bestimmten Materialien wie topologischen Isolatoren und Supraleitern existieren. Ihre Existenz könnte potenziell die Grundlage für robuste Quantencomputer bilden, da sie gegen lokale Störungen resistent sind. Die mathematische Beschreibung dieser Teilchen kann durch die Dirac-Gleichung modifiziert werden, die das Verhalten von Fermionen beschreibt, wobei Majorana-Fermionen eine spezielle Form dieser Gleichung annehmen.

Der Seifert-Van Kampen-Satz ist ein fundamentales Resultat in der algebraischen Topologie, das eine Methode bereitstellt, um die Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes zu berechnen, der aus zwei überlappenden Teilräumen besteht. Der Satz besagt, dass, wenn ein topologischer Raum $X$ in zwei offene Teilmengen $U$ und $V$ zerlegt werden kann, deren Schnitt $U \cap V$ ebenfalls offen ist, die Fundamentalgruppe von $X$ durch die Fundamentalgruppen von $U$, $V$ und $U \cap V$ gegeben ist. Mathematisch ausgedrückt, gilt:

Hierbei steht $*$ für das freie Produkt der Gruppen und $_{*}$ für die Identifizierung der Elemente, die aus dem Schnitt $U \cap V$ stammen. Dieses Resultat ist besonders nützlich, um komplexe Räume zu analysieren, indem man sie in einfachere Teile zerlegt und deren Eigenschaften kombiniert. Der Seifert-Van Kampen-Satz ist ein wichtiges Werkzeug in der modernen Topologie und findet Anwendung in verschiedenen Bereichen, wie z.B. in der Homotop

Eine konvexe Funktion ist eine Funktion $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, die die Eigenschaft hat, dass für alle $x, y \in \text{dom}(f)$ und für alle $\lambda \in [0, 1]$ die folgende Ungleichung gilt:

Diese Eigenschaft bedeutet, dass die Linie zwischen zwei Punkten auf dem Graphen der Funktion niemals über den Graphen selbst hinausgeht. Ein weiteres wichtiges Merkmal konvexer Funktionen ist, dass ihre zweite Ableitung, wenn sie existiert, nicht negativ ist: $f''(x) \geq 0$. Konvexe Funktionen besitzen auch die Eigenschaft, dass lokale Minima gleichzeitig globale Minima sind, was sie besonders relevant für Optimierungsprobleme macht. Beispiele für konvexe Funktionen sind quadratische Funktionen, exponentielle Funktionen und die negative logarithmische Funktion.

Ein Trade Surplus oder Handelsüberschuss tritt auf, wenn der Wert der Exporte eines Landes den Wert der Importe übersteigt. Dies bedeutet, dass ein Land mehr Waren und Dienstleistungen verkauft als es kauft, was zu einem positiven Saldo in der Handelsbilanz führt. Der Handelsüberschuss kann als Indikator für eine starke Wirtschaft angesehen werden, da er darauf hinweist, dass die inländischen Produkte im internationalen Markt gefragt sind.

Mathematisch lässt sich der Handelsüberschuss wie folgt darstellen:

Ein anhaltender Handelsüberschuss kann jedoch auch zu Spannungen mit Handelspartnern führen, da er als ungleiche Handelsbeziehung wahrgenommen werden kann. Zudem kann ein übermäßiger Fokus auf Exporte die wirtschaftliche Diversifizierung eines Landes gefährden.