Newton-Raphson

Variational Inference (VI) ist ein leistungsfähiges Verfahren zur Approximation von posterioren Verteilungen in probabilistischen Modellen. Anstatt die komplexe, oft analytisch nicht lösbare posterior Verteilung direkt zu berechnen, wird ein einfacherer, parametrischer Verteilungsfamilie $q(\theta; \phi)$ gewählt, die durch die Variablen $\phi$ parametrisiert wird. Das Ziel von VI ist es, die Parameter $\phi$ so zu optimieren, dass die Kullback-Leibler-Divergenz zwischen der gewählten Verteilung und der tatsächlichen posterioren Verteilung minimiert wird:

Durch Minimierung dieser Divergenz wird die Approximation verbessert. VI ist besonders nützlich in großen Datensätzen und komplexen Modellen, wo traditionelle Methoden wie Markov-Chain-Monte-Carlo (MCMC) ineffizient sein können. Zu den gängigen VI-Techniken gehören Mean-Field Approximation, bei der die Unabhängigkeit der Variablen angenommen wird, und Stochastic Variational Inference, das stochastische Optimierung verwendet, um die Eff

Die Finite Volume Method (FVM) ist eine numerische Technik zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen, die häufig in der Strömungsmechanik und Wärmeübertragung angewendet wird. Bei dieser Methode wird das gesamte Berechnungsgebiet in eine endliche Anzahl von Kontrollvolumen unterteilt, in denen die Erhaltungsgesetze für Masse, Impuls und Energie angewendet werden. Die Hauptidee besteht darin, die Integrale dieser Erhaltungsgesetze über jedes Kontrollvolumen zu formulieren und sie in eine diskrete Form zu überführen, was zu einem System von algebraischen Gleichungen führt.

Ein wesentlicher Vorteil der FVM ist, dass sie die physikalische Erhaltung von Größen wie Masse und Energie gewährleistet, da die Flüsse an den Grenzen der Kontrollvolumen explizit berechnet werden. Die Methode ist besonders geeignet für Probleme mit komplexen Geometrien und in der Lage, mit nichtlinearen Effekten und starken Gradienten umzugehen. In der mathematischen Formulierung wird oft das allgemeine Transportgleichungssystem verwendet, das in Form von:

dargestellt wird, wobei $\phi$ die

Das Dirichlet-Problem bezieht sich auf eine spezielle Art von Randwertproblemen in der Mathematik, insbesondere in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Bei diesen Problemen werden die Werte einer Funktion an den Rändern eines bestimmten Gebiets vorgegeben. Mathematisch formuliert bedeutet dies, dass für ein Gebiet $\Omega$ und den Rand $\partial \Omega$ die Funktion $u$ an den Randpunkten festgelegt ist, also $u(x) = g(x)$ für $x \in \partial \Omega$, wobei $g$ eine gegebene Funktion ist.

Diese Randbedingungen sind besonders wichtig, um Lösungen für physikalische Probleme zu finden, die oft in Form von Temperaturverteilungen, elektrischen Feldern oder anderen physikalischen Größen auftreten. Die Dirichlet-Bedingungen garantieren, dass die Lösung an den Randpunkten konstant bleibt, was in vielen Anwendungen, wie z.B. bei der Wärmeleitung oder der Elastizitätstheorie, von entscheidender Bedeutung ist. Um eine eindeutige Lösung zu gewährleisten, müssen die Randbedingungen konsistent und gut definiert sein.

Inflation Targeting ist eine geldpolitische Strategie, bei der eine Zentralbank ein spezifisches Inflationsziel festlegt, um Preisstabilität zu gewährleisten und das Wirtschaftswachstum zu fördern. Diese Strategie basiert auf der Annahme, dass eine stabile Inflationsrate das Vertrauen in die Währung stärkt und Investitionen anzieht. Typischerweise wird das Ziel als jährliche Inflationsrate in einem bestimmten Bereich, häufig zwischen 2% und 3%, definiert. Um dieses Ziel zu erreichen, nutzt die Zentralbank verschiedene geldpolitische Instrumente, wie z.B. die Anpassung des Leitzinses.

Ein zentraler Aspekt des Inflation Targeting ist die Transparenz und Kommunikation: Die Zentralbank informiert die Öffentlichkeit regelmäßig über ihre Einschätzungen zur wirtschaftlichen Lage und die Maßnahmen, die sie ergreift, um das Inflationsziel zu erreichen. Dies fördert die Vorhersehbarkeit und hilft, die Inflationserwartungen der Wirtschaftsteilnehmer zu verankern.

Die Hawking-Evaporations-Theorie, die von dem Physiker Stephen Hawking in den 1970er Jahren formuliert wurde, beschreibt einen Prozess, durch den schwarze Löcher Energie und Masse verlieren können. Dieser Prozess entsteht durch Quantenfluktuationen in der Nähe des Ereignishorizonts eines schwarzen Lochs. Dabei entstehen Paare von Teilchen und Antiteilchen, die kurzzeitig aus dem Nichts erscheinen können. Wenn eines dieser Teilchen ins schwarze Loch fällt, kann das andere entkommen, was dazu führt, dass das schwarze Loch Energie verliert.

Dies wird oft als eine Art „Verdampfung“ beschrieben, da die Masse des schwarzen Lochs im Laufe der Zeit abnimmt. Der Verlust an Masse führt zur Langsamkeit der Verdampfung, wobei kleine schwarze Löcher schneller evaporieren als große. Letztlich könnte ein schwarzes Loch durch diesen Prozess vollständig verschwinden, was gravierende Implikationen für unser Verständnis der Thermodynamik und der Informationsnatur im Universum hat.

Die Perovskitstruktur ist eine spezifische Kristallstruktur, die nach dem Mineral Perowskit (CaTiO₃) benannt ist. Diese Struktur hat die allgemeine chemische Formel ABX₃, wobei A und B Kationen verschiedener Größen sind und X ein Anion darstellt. Die A-Kationen befinden sich in den Ecken des Würfels, die B-Kationen im Zentrum und die X-Anionen in den Mitten der Kanten des Würfels. Diese Anordnung sorgt für eine hohe Flexibilität und ermöglicht die Aufnahme verschiedener Elemente, was die Perovskitstruktur in der Materialwissenschaft besonders interessant macht. Aufgrund ihrer einzigartigen elektrischen, optischen und magnetischen Eigenschaften finden Perovskite Anwendung in Bereichen wie der Solarenergie, der Katalyse und der elektronischen Bauelemente.