Hodgkin-Huxley Model

Die Black-Scholes-Formel ist ein fundamentales Modell zur Bewertung von Optionen, das auf bestimmten Annahmen über die Preisbewegungen von Aktien basiert. Die Ableitung beginnt mit der Annahme, dass die Preise von Aktien einem geometrischen Brownians Prozess folgen, was bedeutet, dass die logarithmischen Renditen normalverteilt sind. Der Preis einer europäischen Call-Option kann dann durch die Risiko-Neutralität und die Martingal-Theorie abgeleitet werden.

Um die Option zu bewerten, wird zunächst ein Portfolio aus der Option und der zugrunde liegenden Aktie erstellt, das risikofrei ist. Mithilfe der Itô-Kalkül wird die zeitliche Veränderung des Portfoliowertes betrachtet, was zu einer partiellen differentialgleichung führt. Schließlich ergibt sich die Black-Scholes-Formel, die für eine europäische Call-Option wie folgt aussieht:

Hierbei sind $N(d_1)$ und $N(d_2)$ die Werte der kumulativen Normalverteilung, $S$ der aktuelle Aktienkurs, $K$ der Ausübungspreis, $r$ der risikofreie Zinssatz und $ T-t

Das Leontief Paradox beschreibt ein unerwartetes Ergebnis in der internationalen Handelsökonomie, das von dem Ökonomen Wassily Leontief in den 1950er Jahren festgestellt wurde. Leontief untersuchte die Handelsströme der USA und erwartete, dass das Land, das reich an Kapital ist, hauptsächlich kapitalintensive Produkte exportieren und arbeitsintensive Produkte importieren würde. Überraschenderweise stellte er fest, dass die USA überwiegend arbeitsintensive Güter exportierten, während sie kapitalintensive Güter importierten. Dieses Ergebnis widerspricht dem Heckscher-Ohlin-Modell, das voraussagt, dass Länder gemäß ihrer Faktorausstattung (Kapital und Arbeit) handeln. Leontiefs Ergebnisse führten zu einer intensiven Debatte über die Determinanten des internationalen Handels und der Faktorausstattung, was die Komplexität der globalen Wirtschaft verdeutlicht.

Der Keynesian Beauty Contest ist ein Konzept aus der Ökonomie, das von dem britischen Ökonomen John Maynard Keynes eingeführt wurde. Es beschreibt, wie Investoren oft nicht nur ihre eigenen Meinungen über den Wert eines Vermögenswertes bilden, sondern auch versuchen, die Meinungen anderer Marktteilnehmer vorherzusagen. In diesem Wettbewerb geht es darum, den „schönsten“ Teilnehmer zu wählen, wobei die Schönheit nicht objektiv, sondern durch die Präferenzen der Mehrheit bestimmt wird.

In diesem Sinne könnten Anleger dazu verleitet werden, in Vermögenswerte zu investieren, die sie für die attraktivsten halten, basierend auf dem, was sie glauben, dass andere Investoren ebenfalls für attraktiv halten. Dies führt zu einer Kettenreaktion, in der die Marktpreise von Erwartungen und Spekulationen dominiert werden, anstatt von den zugrunde liegenden wirtschaftlichen Fundamentaldaten. Der Keynesian Beauty Contest verdeutlicht somit die Rolle von Erwartungen und Psychologie im Finanzmarkt und hebt die Abweichung zwischen Marktpreisen und tatsächlichem Wert hervor.

Ein Giffen Gut ist ein wirtschaftliches Konzept, das eine paradoxe Situation beschreibt, in der der Preis eines Gutes steigt und die nachgefragte Menge ebenfalls zunimmt. Dies steht im Widerspruch zum Gesetz der Nachfrage, das besagt, dass bei steigendem Preis die Nachfrage normalerweise sinkt. Ein klassisches Beispiel für ein Giffen Gut sind Grundnahrungsmittel wie Brot oder Reis in ärmeren Gesellschaften. Wenn der Preis für solche Lebensmittel steigt, haben die Verbraucher oft nicht genug Einkommen, um sich teurere Nahrungsmittel zu leisten, und greifen stattdessen auf größere Mengen des teureren Grundnahrungsmittels zurück, um ihren Kalorienbedarf zu decken. Ein empirisches Beispiel hierfür könnte die Situation in Irland während der Kartoffelkrise im 19. Jahrhundert sein, als der Preis für Kartoffeln stieg und die Menschen trotz der höheren Kosten mehr Kartoffeln kauften, weil sie die Hauptnahrungsquelle darstellten.

Ein Splay Tree ist eine selbstbalancierende Datenstruktur, die auf dem Konzept von binären Suchbäumen basiert. Der Hauptunterschied zu herkömmlichen binären Suchbäumen ist die Verwendung einer speziellen Rotationsoperation, die als Splay bezeichnet wird. Diese Operation wird angewendet, um das zuletzt zugegriffene Element an die Wurzel des Baums zu bringen, was die Zugriffszeit für häufig verwendete Elemente optimiert.

Die Grundidee hinter Splay Trees ist, dass Elemente, die häufig abgerufen werden, in der Nähe der Wurzel gehalten werden, was den Zugriff auf diese Elemente im Durchschnitt schneller macht. Die Zeitkomplexität für das Einfügen, Löschen und Suchen ist amortisiert $O(\log n)$, wobei $n$ die Anzahl der Elemente im Baum ist. Ein Splay Tree benötigt jedoch im Worst Case $O(n)$ Zeit, wenn der Baum sehr unausgewogen ist. Trotz dieser Worst-Case-Szenarien sind Splay Trees aufgrund ihrer Effizienz bei wiederholten Zugriffen in vielen Anwendungen nützlich.

Der magnetokalorische Effekt beschreibt die Temperaturänderung eines Materials, wenn es in ein externes Magnetfeld gebracht wird oder dieses entfernt wird. Bei ferromagnetischen Materialien führt die Anordnung der magnetischen Momente unter dem Einfluss eines Magnetfeldes zu einer Änderung der thermodynamischen Eigenschaften. Wenn das Material in ein Magnetfeld gebracht wird, ordnen sich die magnetischen Momente parallel zum Feld aus, was eine Erwärmung des Materials zur Folge hat. Entfernt man das Magnetfeld, kehren die Momente in ihre ungeordnete Anordnung zurück, was zu einer Abkühlung führt.

Dieser Effekt wird in der Regel durch die Änderung der Entropie des Systems beschrieben und kann mathematisch durch die Beziehung zwischen Entropie $S$, Magnetfeld $B$ und Temperatur $T$ ausgedrückt werden. Besonders in der Kühltechnik wird der magnetokalorische Effekt genutzt, um effizientere Kühlsysteme zu entwickeln, die weniger Energie verbrauchen und umweltfreundlicher sind.