Stark Effect

LSTM (Long Short-Term Memory) Netzwerke sind eine spezielle Art von rekurrenten neuronalen Netzwerken, die entwickelt wurden, um das Problem des vanishing gradient zu überwinden. Sie bestehen aus drei Hauptgattern, die die Informationen steuern: dem Vergessensgate, dem Eingangsgate und dem Ausgangsgate.

1. Vergessensgate: Dieses Gate entscheidet, welche Informationen aus dem vorherigen Zellzustand $C_{t-1}$ verworfen werden sollen. Es verwendet eine Sigmoid-Aktivierungsfunktion, um eine Ausgabe zwischen 0 und 1 zu erzeugen, wobei 0 bedeutet, dass die Information vollständig verworfen wird, und 1, dass sie vollständig beibehalten wird.

2. Eingangsgate: Das Eingangsgate bestimmt, welche neuen Informationen in den Zellzustand $C_t$ aufgenommen werden. Es kombiniert die aktuelle Eingabe $x_t$ mit dem vorherigen Hidden State $h_{t-1}$ und verwendet ebenfalls eine Sigmoid-Aktivierungsfunktion, um die relevanten Informationen zu filtern.

3. Ausgangsgate: Dieses Gate steuert, welche Informationen aus dem Zellzustand in den nächsten Hidden State $h_t$ überführt werden. Es verwendet die Sigmoid-Funktion, um zu entscheiden, welche Teile des Zellzustands ausge

Das Dirichlet'sche Approximationstheorem ist ein fundamentales Resultat in der Zahlentheorie, das sich mit der Approximation reeller Zahlen durch rationale Zahlen beschäftigt. Es besagt, dass für jede reelle Zahl $\alpha$ und jede positive ganze Zahl $n$ eine rationale Zahl $\frac{p}{q}$ existiert, so dass die folgende Ungleichung gilt:

Dies bedeutet, dass man für jede reelle Zahl $\alpha$ und jede gewünschte Genauigkeit $\frac{1}{n}$ eine rationale Approximation finden kann, deren Nenner nicht zu groß ist. Das Theorem hat weitreichende Anwendungen in der Diophantischen Approximation und der Theorie der irrationalen Zahlen. Es illustriert die Dichte der rationalen Zahlen in den reellen Zahlen und zeigt, dass sie, trotz der Unendlichkeit der reellen Zahlen, immer nahe genug an einer gegebenen reellen Zahl liegen können.

Tf-Idf, kurz für Term Frequency-Inverse Document Frequency, ist eine Methode zur Umwandlung von Text in numerische Vektoren, die in der Informationsretrieval und im maschinellen Lernen weit verbreitet ist. Der Term Frequency (TF) misst, wie oft ein bestimmtes Wort in einem Dokument vorkommt, relativ zur Gesamtanzahl der Wörter im Dokument. Der Inverse Document Frequency (IDF) hingegen quantifiziert, wie wichtig ein Wort ist, indem er die Anzahl der Dokumente, die das Wort enthalten, in Betracht zieht. Diese beiden Maße werden kombiniert, um den Tf-Idf-Wert für ein Wort $t$ in einem Dokument $d$ zu berechnen:

Dabei ist die IDF definiert als:

wobei $N$ die Gesamtanzahl der Dokumente und $\text{DF}(t)$ die Anzahl der Dokumente, die das Wort $t$ enthalten, ist. Durch die Anwendung dieser Methode können verschiedene Dokumente in einem Vektorraum dargestellt werden, was eine effektive Analyse und Klassifizierung von

Okun's Gesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen der Arbeitslosenquote und dem Bruttoinlandsprodukt (BIP) einer Volkswirtschaft. Es besagt, dass eine Verringerung der Arbeitslosenquote um einen Prozentpunkt in der Regel mit einem Anstieg des BIP um etwa 2-3% einhergeht. Diese Beziehung verdeutlicht, dass eine höhere Beschäftigung in der Regel mit einer höheren wirtschaftlichen Output verbunden ist, da mehr Arbeitnehmer produktiv tätig sind.

Mathematisch lässt sich Okun's Gesetz oft folgendermaßen ausdrücken:

Hierbei ist $\Delta Y$ die Veränderung des BIP, $\Delta U$ die Veränderung der Arbeitslosenquote und $k$ ein konstanter Faktor, der die Sensitivität des BIP auf Änderungen der Arbeitslosigkeit misst. Okun's Gesetz ist somit ein nützliches Werkzeug für Ökonomen und Entscheidungsträger, um die Auswirkungen von Arbeitsmarktveränderungen auf die wirtschaftliche Leistung zu analysieren.

Die Normal Subgroup Lattice (Normale Untergruppenlattice) ist eine strukturierte Darstellung der Normaluntergruppen einer Gruppe $G$. In dieser Lattice sind die Knoten die Normaluntergruppen von $G$, und es gibt eine Kante zwischen zwei Knoten, wenn die eine Normaluntergruppe eine Untergruppe der anderen ist. Diese Lattice ist besonders wichtig, da sie hilft, die Struktur von Gruppen zu verstehen und zu visualisieren, wie Normaluntergruppen miteinander in Beziehung stehen.

Eine Normaluntergruppe $N$ von $G$ erfüllt die Bedingung $gNg^{-1} = N$ für alle $g \in G$. Die Lattice ist oft hierarchisch angeordnet, wobei die trivialen Normaluntergruppen (wie die Gruppe selbst und die triviale Gruppe) an den Enden stehen. Im Allgemeinen kann man auch die Quotientengruppen untersuchen, die aus den Normaluntergruppen entstehen, was weitere Einsichten in die Struktur von $G$ ermöglicht.

Jensen’s Alpha ist eine Kennzahl, die verwendet wird, um die Über- oder Unterperformance eines Portfolios oder eines einzelnen Wertpapiers im Vergleich zu einem geeigneten Marktbenchmark zu messen. Es wird berechnet, indem die erwartete Rendite eines Portfolios unter Berücksichtigung seines systematischen Risikos (gemessen durch den Beta-Wert) von der tatsächlichen Rendite abgezogen wird. Die Formel lautet:

wobei:

• $R_p$ die tatsächliche Rendite des Portfolios ist,
• $R_f$ die risikofreie Rendite darstellt,
• $\beta$ das Maß für das systematische Risiko ist,
• $R_m$ die erwartete Rendite des Marktes ist.

Ein positives Jensen’s Alpha zeigt an, dass das Portfolio besser abgeschnitten hat als erwartet, während ein negatives Alpha bedeutet, dass die Rendite hinter den Erwartungen zurückgeblieben ist. Diese Kennzahl ist besonders nützlich für Investoren, die die Leistung von Fondsmanagern oder Anlagestrategien bewerten möchten.