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Economic Growth Theories

Wachstumstheorien in der Wirtschaft erklären, wie und warum Volkswirtschaften über Zeit wachsen. Die klassische Wachstumstheorie, vertreten durch Ökonomen wie Adam Smith, betont die Rolle von Kapitalakkumulation und Arbeitsteilung. Im Gegensatz dazu fokussiert die neoklassische Wachstumstheorie, insbesondere das Solow-Modell, auf technologische Fortschritte und die Bedeutung von Faktoren wie Humankapital. Eine weitere bedeutende Theorie ist die endogene Wachstumstheorie, die darauf hinweist, dass das Wachstum aus dem wirtschaftlichen Umfeld selbst entstehen kann, insbesondere durch Innovationen und Wissensschaffung. Diese Theorien verwenden oft mathematische Modelle, um das Wachstum mathematisch zu beschreiben, wobei eine gängige Gleichung die Produktionsfunktion darstellt:

Y=F(K,L,A)Y = F(K, L, A)Y=F(K,L,A)

Hierbei steht YYY für das Bruttoinlandsprodukt, KKK für Kapital, LLL für Arbeit und AAA für technologische Effizienz.

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Tolman-Oppenheimer-Volkoff

Das Tolman-Oppenheimer-Volkoff-Modell beschreibt die maximalen Eigenschaften von neutronensternartigen Objekten und ist ein zentraler Bestandteil der modernen Astrophysik. Es basiert auf den Prinzipien der allgemeinen Relativitätstheorie und behandelt die Gleichgewichtsbedingungen für eine kugelsymmetrische, nicht rotierende Masse aus Neutronen. Die grundlegende Gleichung, die die Masse MMM in Abhängigkeit von der Dichte ρ\rhoρ und dem Radius RRR beschreibt, wird durch die Tolman-Oppenheimer-Volkoff-Gleichung gegeben:

dPdr=−Gρ(r)(M(r)+4πr3P)r2(1−2GM(r)c2r)\frac{dP}{dr} = -\frac{G \rho(r)(M(r) + 4\pi r^3 P)}{r^2(1 - \frac{2GM(r)}{c^2 r})}drdP​=−r2(1−c2r2GM(r)​)Gρ(r)(M(r)+4πr3P)​

Hierbei ist PPP der Druck, GGG die Gravitationskonstante und ccc die Lichtgeschwindigkeit. Diese Gleichung ermöglicht es, die Struktur von Neutronensternen zu analysieren und die maximal mögliche Masse eines stabilen Neutronensterns zu bestimmen, die etwa 2 bis 3 Sonnenmassen beträgt. Übersteigt die Masse eines Neutronensterns diesen Wert, kann er in einen schwarzen Loch kollabieren, was bedeut

Homotopieäquivalenz

Homotopieäquivalenz ist ein Konzept aus der algebraischen Topologie, das zwei topologische Räume verbindet, indem es zeigt, dass sie in gewissem Sinne "gleich" sind. Zwei topologische Räume XXX und YYY heißen homotopieäquivalent, wenn es zwei kontinuierliche Abbildungen f:X→Yf: X \to Yf:X→Y und g:Y→Xg: Y \to Xg:Y→X gibt, die folgende Bedingungen erfüllen:

  1. Die Komposition g∘fg \circ fg∘f ist homotop zu der Identitätsabbildung auf XXX, also g∘f≃idXg \circ f \simeq \text{id}_Xg∘f≃idX​.
  2. Die Komposition f∘gf \circ gf∘g ist homotop zu der Identitätsabbildung auf YYY, also f∘g≃idYf \circ g \simeq \text{id}_Yf∘g≃idY​.

Diese Bedingungen bedeuten, dass fff und ggg quasi die umgekehrten Prozesse sind, wobei homotop eine kontinuierliche Deformation beschreibt. Homotopieäquivalente Räume haben die gleiche Homotopietyp und teilen viele topologische Eigenschaften, was sie zu einem zentralen Konzept in der algebraischen Topologie macht.

Graphen-basierte Feldeffekttransistoren

Graphenbasierte Feldeffekttransistoren (GFETs) sind eine innovative Art von Transistoren, die Graphen als aktives Material verwenden. Graphen ist eine einlagige Struktur aus Kohlenstoffatomen, die in einem zweidimensionalen Gitter angeordnet sind und außergewöhnliche elektrische, thermische und mechanische Eigenschaften aufweisen. GFETs nutzen die hohe Beweglichkeit der Elektronen in Graphen, was zu schnellen Schaltzeiten und geringer Energieverbrauch führt. Diese Transistoren können in verschiedenen Anwendungen eingesetzt werden, darunter in der Hochfrequenztechnik, der Sensorik und in der flexiblen Elektronik. Ein entscheidendes Merkmal von GFETs ist die Möglichkeit, die Leitfähigkeit durch das Anlegen eines elektrischen Feldes an das Graphenmaterial zu steuern, was sie zu einem vielversprechenden Kandidaten für zukünftige Transistor-Entwicklungen macht.

Jacobi-Matrix

Die Jacobi-Matrix ist ein fundamentales Konzept in der multivariaten Analysis, das die Ableitungen einer vektoriellen Funktion beschreibt. Sie stellt eine Matrix dar, die die partiellen Ableitungen einer Funktion mit mehreren Variablen in Bezug auf ihre Eingangswerte enthält. Wenn wir eine Funktion f:Rn→Rm\mathbf{f} : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^mf:Rn→Rm betrachten, dann ist die Jacobi-Matrix JJJ gegeben durch:

J=[∂f1∂x1∂f1∂x2⋯∂f1∂xn∂f2∂x1∂f2∂x2⋯∂f2∂xn⋮⋮⋱⋮∂fm∂x1∂fm∂x2⋯∂fm∂xn]J = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}J=​∂x1​∂f1​​∂x1​∂f2​​⋮∂x1​∂fm​​​∂x2​∂f1​​∂x2​∂f2​​⋮∂x2​∂fm​​​⋯⋯⋱⋯​∂xn​∂f1​​∂xn​∂f2​​⋮∂xn​∂fm​​​​

Hierbei sind fif_ifi​ die Komponenten der

Nash-Gleichgewicht

Das Nash Equilibrium ist ein zentrales Konzept in der Spieltheorie, das beschreibt, in welchem Zustand Spieler in einem Spiel strategische Entscheidungen treffen, sodass keiner der Spieler einen Anreiz hat, seine Strategie einseitig zu ändern. In einem Nash-Gleichgewicht wählt jeder Spieler die beste Strategie, gegeben die Strategien der anderen Spieler. Dies bedeutet, dass alle Spieler gleichzeitig optimal handeln, und zwar in dem Sinne, dass ihr Nutzen maximiert wird, solange die anderen Spieler ihre Entscheidungen beibehalten.

Mathematisch lässt sich das Nash-Gleichgewicht wie folgt formulieren: Sei SiS_iSi​ die Strategie des Spielers iii und Ui(S1,S2,…,Sn)U_i(S_1, S_2, \ldots, S_n)Ui​(S1​,S2​,…,Sn​) die Nutzenfunktion. Ein Nash-Gleichgewicht liegt vor, wenn für jeden Spieler iii gilt:

Ui(S1,S2,…,Sn)≥Ui(S1,S2,…,Si−1,Si′,Si+1,…,Sn)U_i(S_1, S_2, \ldots, S_n) \geq U_i(S_1, S_2, \ldots, S_{i-1}, S_i', S_{i+1}, \ldots, S_n)Ui​(S1​,S2​,…,Sn​)≥Ui​(S1​,S2​,…,Si−1​,Si′​,Si+1​,…,Sn​)

für alle möglichen Strategien Si′S_i'Si′​ von Spieler iii. Ein bekanntes Beispiel für ein Nash-Gleichgewicht ist das Gefangenendilemma, wo zwei Gefangene, die unabhängig entscheiden, ob sie gestehen oder schweigen, im Gleich

Laffer-Kurve

Die Laffer-Kurve ist ein wirtschaftliches Konzept, das die Beziehung zwischen Steuersätzen und den daraus resultierenden Steuereinnahmen beschreibt. Sie zeigt, dass es einen optimalen Steuersatz gibt, bei dem die Steuereinnahmen maximiert werden. Wenn die Steuersätze zu niedrig sind, steigen die Einnahmen mit höheren Steuersätzen; jedoch gibt es einen Punkt, an dem höhere Steuersätze zu einem Rückgang der Einnahmen führen, da sie die Anreize zum Arbeiten und Investieren verringern. Dieser Effekt kann durch die Formel R=t⋅B(t)R = t \cdot B(t)R=t⋅B(t) beschrieben werden, wobei RRR die Steuereinnahmen, ttt der Steuersatz und B(t)B(t)B(t) die Steuerbasis ist. Die Kurve hat die Form eines umgedrehten U, wobei die maximale Einnahme an der Spitze des Bogens liegt. Die Laffer-Kurve verdeutlicht, dass eine sorgfältige Balance zwischen Steuersatz und wirtschaftlichen Anreizen notwendig ist, um die gewünschten Einnahmen zu erzielen.