Cantor Function

Das Farkas Lemma ist ein fundamentales Resultat in der linearen Algebra und der mathematischen Optimierung. Es befasst sich mit der Frage, unter welchen Bedingungen ein bestimmtes System von linearen Ungleichungen lösbar ist. Formal ausgedrückt, besagt das Lemma, dass für zwei Vektoren $b \in \mathbb{R}^m$ und $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ entweder das System der Ungleichungen $Ax \leq b$ eine Lösung $x$ hat oder das System der Gleichungen $y^T A = 0$ und $y^T b < 0$ für ein $y \geq 0$ lösbar ist.

Das Farkas Lemma ist besonders nützlich in der dualen Optimierung, da es hilft, die Existenz von Lösungen zu bestimmen und die Beziehungen zwischen primalen und dualen Problemen zu verstehen. Es wird oft in der Theorie der linearen Optimierung und in Anwendungen verwendet, die von der Wirtschafts- und Sozialwissenschaft bis hin zur Ingenieurwissenschaft reichen.

Die Slutsky-Gleichung ist eine fundamentale Beziehung in der Mikroökonomie, die die Auswirkungen von Preisänderungen auf die Nachfrage nach Gütern beschreibt. Sie zerlegt die Gesamtwirkung einer Preisänderung in zwei Komponenten: den Substitutionseffekt und den Einkommenseffekt. Der Substitutionseffekt zeigt, wie sich die Nachfrage nach einem Gut ändert, wenn der Preis sinkt und der Konsument zu diesem Gut substituiert, während der Einkommenseffekt zeigt, wie sich die Nachfrage ändert, weil sich das reale Einkommen des Konsumenten aufgrund der Preisänderung verändert.

Mathematisch wird die Slutsky-Gleichung wie folgt ausgedrückt:

Hierbei steht $x_i$ für die nachgefragte Menge des Gutes $i$, $p_j$ für den Preis des Gutes $j$ und $m$ für das Einkommen des Konsumenten. Die Gleichung verdeutlicht, dass die Veränderung der Nachfrage nach Gut $i$ bezüglich der Preisänderung von Gut $j$ sowohl von der Veränderung der optimalen Nachfrage als auch von der Veränderung des Einkommens abhängt. Die Slutsky

Das Eigenvalue Problem ist ein zentrales Konzept in der linearen Algebra und beschäftigt sich mit der Suche nach sogenannten Eigenwerten und Eigenvektoren einer Matrix. Gegeben sei eine quadratische Matrix $A$. Ein Eigenwert $\lambda$ und der zugehörige Eigenvektor $\mathbf{v}$ erfüllen die Gleichung:

Das bedeutet, dass die Anwendung der Matrix $A$ auf den Eigenvektor $\mathbf{v}$ lediglich eine Skalierung des Vektors um den Faktor $\lambda$ bewirkt. Eigenwerte und Eigenvektoren finden Anwendung in verschiedenen Bereichen, wie z.B. in der Stabilitätsanalyse, bei der Lösung von Differentialgleichungen sowie in der Quantenmechanik. Um die Eigenwerte zu bestimmen, wird die charakteristische Gleichung aufgestellt:

Hierbei ist $I$ die Einheitsmatrix. Die Lösungen dieser Gleichung geben die Eigenwerte an, während die zugehörigen Eigenvektoren durch Einsetzen der Eigenwerte in die ursprüngliche Gleichung gefunden werden können.

Ein Hamiltonian System ist ein dynamisches System, das durch die Hamiltonsche Mechanik beschrieben wird, eine reformulierte Version der klassischen Mechanik. In einem solchen System wird der Zustand eines Systems durch die Hamiltonsche Funktion $H(q, p, t)$ charakterisiert, wobei $q$ die generalisierten Koordinaten und $p$ die zugehörigen Impulse sind. Die Bewegungsgleichungen werden durch die Hamiltonschen Gleichungen gegeben, die wie folgt aussehen:

Diese Gleichungen beschreiben, wie sich die Zustände des Systems im Laufe der Zeit ändern. Hamiltonsche Systeme sind besonders in der Physik und Mathematik wichtig, da sie Eigenschaften wie Energieerhaltung und Symplektizität aufweisen, was bedeutet, dass sie in der Phase raumkonservierend sind. Solche Systeme finden Anwendung in verschiedenen Bereichen, einschließlich der Quantenmechanik, der statistischen Mechanik und der Chaosforschung.

Ein Random Walk ist ein stochastischer Prozess, der beschreibt, wie sich ein Teilchen zufällig von einem Punkt zu einem anderen bewegt. In diesem Kontext bezeichnet man einen absorbing state (aufnehmenden Zustand) als einen Zustand, von dem aus das Teilchen nicht mehr weiter wandern kann, d.h. sobald es diesen Zustand erreicht, bleibt es dort. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, nach dem Erreichen eines aufnehmenden Zustands wieder zu einem anderen Zustand zurückzukehren, gleich Null ist.

In mathematischer Form kann man das so ausdrücken: Sei $S_t$ der Zustand des Systems zum Zeitpunkt $t$. Wenn $S_t$ ein aufnehmender Zustand ist, dann gilt $P(S_{t+1} = S_t | S_t) = 1$. Diese Konzepte finden Anwendung in verschiedenen Bereichen, darunter Physik, Finanzmathematik und Biologie, um Phänomene wie Markov-Ketten oder die Verbreitung von Krankheiten zu modellieren. In der Praxis ist es wichtig, die Struktur und Verteilung der aufnehmenden Zustände zu verstehen, da sie entscheidend für das langfristige Verhalten des Random Walks sind.

Der Lyapunov-Exponent ist ein Maß dafür, wie empfindlich ein dynamisches System auf kleine Änderungen in den Anfangsbedingungen reagiert. Er wird häufig in der Chaosforschung eingesetzt, um die Stabilität und das Verhalten von Systemen zu charakterisieren. Ein positiver Lyapunov-Exponent zeigt an, dass das System chaotisch ist, da kleine Abweichungen in den Anfangsbedingungen zu exponentiell divergierenden Trajektorien führen. Umgekehrt deutet ein negativer Lyapunov-Exponent darauf hin, dass das System stabil ist und Störungen im Laufe der Zeit abklingen. Mathematisch wird der Lyapunov-Exponent $\lambda$ oft durch die Formel

definiert, wobei $d(x_0, t)$ den Abstand zwischen zwei Trajektorien zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$ darstellt.