High Entropy Alloys For Aerospace

Die Casimir-Kraft ist eine quantenmechanische Kraft, die zwischen zwei unbeschichteten, parallelen Metallplatten entsteht, die sich in einem Vakuum befinden. Diese Kraft resultiert aus den quantisierten Fluktuationen des elektromagnetischen Feldes im Raum zwischen den Platten und nimmt mit zunehmendem Abstand zwischen ihnen ab. Um die Casimir-Kraft zu messen, werden hochpräzise Instrumente eingesetzt, die in der Lage sind, winzige Kräfte zu detektieren und die Position der Platten mit extremer Genauigkeit zu kontrollieren.

Die Messung erfolgt typischerweise durch die Verwendung eines Atomkraftmikroskops oder anderer feiner Kräfte-Messgeräte, die die Anziehung zwischen den Platten in Abhängigkeit von ihrem Abstand quantifizieren. Die Casimir-Kraft kann mathematisch durch die Formel

beschrieben werden, wobei $F$ die Kraft, $\hbar$ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum, $c$ die Lichtgeschwindigkeit und $a$ der Abstand zwischen den Platten ist. Diese Messungen sind nicht nur wichtig für das Verständnis grundlegender physikalischer Prinzipien, sondern haben auch Anwendungen in der Nanotechnologie und Materialwissenschaften.

Smart Manufacturing in der Industrie 4.0 bezeichnet die Integration modernster Technologien in den Fertigungsprozess, um Effizienz, Flexibilität und Anpassungsfähigkeit zu steigern. Dies umfasst den Einsatz von Internet of Things (IoT), Künstlicher Intelligenz (KI), Big Data und Advanced Robotics, um Daten in Echtzeit zu analysieren und Entscheidungen automatisiert zu optimieren. Die Vorteile dieser Ansätze sind unter anderem eine verbesserte Produktqualität, reduzierte Produktionszeiten und geringere Kosten.

In einer Smart Manufacturing Umgebung kommunizieren Maschinen und Systeme miteinander, wodurch eine durchgängige Vernetzung und Automatisierung entsteht. Die Implementierung dieser Technologien ermöglicht es Unternehmen, ihre Produktionsprozesse dynamisch an Marktanforderungen anzupassen und innovative Geschäftsmodelle zu entwickeln. Letztlich führt dies zu einer nachhaltigeren und wettbewerbsfähigeren Industrie.

Der Krylov-Unterraum ist ein Konzept aus der numerischen Mathematik, das vor allem in der Lösung von linearen Systemen und Eigenwertproblemen Anwendung findet. Er wird durch wiederholte Multiplikation einer gegebenen Matrix $A$ mit einem Vektor $b$ erzeugt. Formal wird der $k$-te Krylov-Unterraum definiert als:

Hierbei ist $\text{span}$ der Spann eines Vektorraums, der alle Linearkombinationen der angegebenen Vektoren umfasst. Krylov-Unterräume sind besonders nützlich, weil sie oft die wichtigsten Informationen über das Verhalten der Matrix $A$ enthalten. Viele iterative Verfahren, wie das GMRES (Generalized Minimal Residual Method) oder das Lanczos-Verfahren, nutzen diese Unterräume, um die Lösung effizienter zu approximieren. In der Praxis ermöglicht die Dimension des Krylov-Unterraums eine Reduzierung der Komplexität bei der Berechnung von Lösungen für große, spärlich besetzte Matrizen.

Die Domain Wall Dynamics bezieht sich auf das Verhalten und die Bewegung von Grenzflächen (Domains), die verschiedene magnetische oder strukturelle Zustände in einem Material trennen. Diese Wände sind entscheidend für das Verständnis von magnetischen Materialien, insbesondere in der Festkörperphysik und der Materialwissenschaft. Die Dynamik dieser Wände wird durch verschiedene Kräfte beeinflusst, darunter magnetische Felder, thermische Fluktuationen und mechanische Spannungen. Bei der Bewegung der Domain-Wände können verschiedene Phänomene auftreten, wie zum Beispiel die Verbreiterung oder Verschiebung der Wände, die für Anwendungen in der Datenspeicherung und der Spintronik von großer Bedeutung sind. Mathematisch können die Bewegungen durch Gleichungen wie die Landau-Lifschitz-Gleichung beschrieben werden, die die zeitliche Entwicklung der Magnetisierung $\mathbf{M}$ eines Materials beschreibt.

Die Pontryagin-Maximalprinzip ist ein fundamentales Konzept in der optimalen Steuerungstheorie, das von dem Mathematiker Lev Pontryagin in den 1950er Jahren entwickelt wurde. Es bietet eine Methode zur Bestimmung der optimalen Steuerung einer dynamischen Systembeschreibung, um ein bestimmtes Ziel zu erreichen, wie z.B. die Minimierung von Kosten oder die Maximierung eines Ertrags. Das Prinzip basiert auf der Formulierung eines sogenannten Hamiltonian $H$, der die Systemdynamik und die Zielfunktion kombiniert.

Der Grundgedanke des Prinzips ist, dass die optimale Steuerung $u^*(t)$ die notwendigen Bedingungen erfüllt, um den Hamiltonian zu maximieren. Mathematisch wird dies durch die Bedingung ausgedrückt:

Hierbei sind $x(t)$ die Zustandsvariablen, $u(t)$ die Steuerungsvariablen, und $\lambda(t)$ die adjungierten Variablen. Das Prinzip liefert auch eine Reihe von Differentialgleichungen, die die Dynamik der Zustands- und adjungierten Variablen beschreiben, sowie die Bedingungen für die Endpunkte. Somit ist das Pontryagin-Maximalprinzip ein

Die Preisgestaltung finanzieller Derivate ist ein zentraler Aspekt der Finanzmärkte und umfasst Methoden zur Bewertung von Finanzinstrumenten, deren Wert von der Preisentwicklung eines zugrunde liegenden Vermögenswerts abhängt. Zu den gängigsten Derivaten gehören Optionen, Futures und Swaps. Die Bewertung dieser Instrumente erfolgt häufig mithilfe mathematischer Modelle, wobei das bekannteste Modell das Black-Scholes-Modell ist, das zur Preisbestimmung von europäischen Optionen verwendet wird.

Die Preisformel für eine europäische Call-Option lautet:

wobei $C$ der Preis der Call-Option, $S_0$ der aktuelle Preis des zugrunde liegenden Vermögenswerts, $X$ der Ausübungspreis, $r$ der risikofreie Zinssatz, $T$ die Zeit bis zur Fälligkeit und $N(d)$ die kumulative Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist. Die Variablen $d_1$ und $d_2$ werden wie folgt definiert: