Financial Derivatives Pricing

Ein Random Walk ist ein stochastischer Prozess, der beschreibt, wie sich ein Teilchen zufällig von einem Punkt zu einem anderen bewegt. In diesem Kontext bezeichnet man einen absorbing state (aufnehmenden Zustand) als einen Zustand, von dem aus das Teilchen nicht mehr weiter wandern kann, d.h. sobald es diesen Zustand erreicht, bleibt es dort. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, nach dem Erreichen eines aufnehmenden Zustands wieder zu einem anderen Zustand zurückzukehren, gleich Null ist.

In mathematischer Form kann man das so ausdrücken: Sei $S_t$ der Zustand des Systems zum Zeitpunkt $t$. Wenn $S_t$ ein aufnehmender Zustand ist, dann gilt $P(S_{t+1} = S_t | S_t) = 1$. Diese Konzepte finden Anwendung in verschiedenen Bereichen, darunter Physik, Finanzmathematik und Biologie, um Phänomene wie Markov-Ketten oder die Verbreitung von Krankheiten zu modellieren. In der Praxis ist es wichtig, die Struktur und Verteilung der aufnehmenden Zustände zu verstehen, da sie entscheidend für das langfristige Verhalten des Random Walks sind.

Das Graph Isomorphism Problem beschäftigt sich mit der Frage, ob zwei gegebene Graphen $G_1$ und $G_2$ isomorph sind, das heißt, ob es eine Bijektion zwischen den Knoten von $G_1$ und den Knoten von $G_2$ gibt, die die Kantenstruktur bewahrt. Formell ausgedrückt, sind zwei Graphen isomorph, wenn es eine 1-zu-1-Abbildung $f: V(G_1) \to V(G_2)$ gibt, sodass eine Kante $(u, v)$ in $G_1$ existiert, wenn und nur wenn die Kante $(f(u), f(v))$ in $G_2$ existiert.

Das Problem ist besonders interessant, da es nicht eindeutig in die Klassen P oder NP eingeordnet werden kann. Während für spezielle Typen von Graphen, wie zum Beispiel Bäume oder planare Graphen, effiziente Algorithmen zur Verfügung stehen, bleibt die allgemeine Lösung für beliebige Graphen eine offene Frage in der theoretischen Informatik. Das Graph Isomorphism Problem hat Anwendungen in verschiedenen Bereichen, einschließlich Chemie (zum Beispiel beim Vergleich von Molekülstrukturen) und Netzwerkanalyse.

Monopolistische Konkurrenz ist ein Marktstrukturtyp, der Merkmale sowohl eines Monopols als auch eines Wettbewerbs aufweist. In diesem Markt gibt es viele Anbieter, die ähnliche, aber nicht identische Produkte anbieten, was den Unternehmen die Möglichkeit gibt, Preise unabhängig zu setzen. Jedes Unternehmen hat eine gewisse Marktmacht, da die Produkte differenziert sind, was bedeutet, dass sie nicht perfekt substituierbar sind.

Ein weiteres wichtiges Merkmal ist der freie Marktzugang, was bedeutet, dass neue Unternehmen relativ einfach in den Markt eintreten oder ihn verlassen können. Dies führt zu einem langfristigen Gleichgewicht, in dem die Gewinne der Unternehmen tendieren, gegen null zu gehen, da neue Anbieter in den Markt eintreten, wenn bestehende Anbieter überdurchschnittliche Gewinne erzielen. Die Preise in einem monopolistischen Wettbewerb liegen typischerweise über den Grenzkosten, was zu einer ineffizienten Allokation von Ressourcen führt.

Die Fourier-Bessel-Serie ist eine spezielle Form der Fourier-Serie, die zur Darstellung von Funktionen verwendet wird, die in einem zylindrischen oder kugelförmigen Koordinatensystem definiert sind. Im Gegensatz zur klassischen Fourier-Serie, die auf der Zerlegung in Sinus- und Kosinusfunktionen basiert, nutzt die Fourier-Bessel-Serie die Bessel-Funktionen als Basisfunktionen. Diese Funktionen sind besonders nützlich, wenn man Probleme in der Mathematik und Physik löst, die mit Wellen und Schwingungen in zylindrischen Geometrien zu tun haben.

Die allgemeine Form einer Fourier-Bessel-Serie kann wie folgt dargestellt werden:

Hierbei ist $J_n(kr)$ die n-te Bessel-Funktion erster Art, $A_n$ die Koeffizienten der Serie und $k$ ist eine Konstante, die oft mit der Wellenzahl in Verbindung steht. Diese Serie ermöglicht es, komplexe Funktionen durch eine unendliche Summe von Bessel-Funktionen zu approximieren, was in verschiedenen Anwendungen, wie z.B. der Signalverarbeitung oder der Lösung von Differentialgleichungen, von großer Bedeutung ist.

AVL-Bäume sind eine spezielle Art von selbstbalancierenden binären Suchbäumen, die von den Mathematikern Georgy Adelson-Velsky und Evgenii Landis im Jahr 1962 eingeführt wurden. Sie garantieren, dass die Höhe des linken und rechten Teilbaums eines Knotens sich um höchstens 1 unterscheidet, um eine effiziente Suchzeit zu gewährleisten. Diese Eigenschaft wird als AVL-Bedingung bezeichnet und sorgt dafür, dass die maximale Höhe $h$ eines AVL-Baums mit $n$ Knoten durch die Formel $h \leq 1.44 \log(n + 2) - 0.328$ begrenzt ist.

Um die Balance nach Einfüge- oder Löschoperationen aufrechtzuerhalten, können Rotationen (einzeln oder doppelt) durchgeführt werden. AVL-Bäume sind besonders nützlich in Anwendungen, bei denen häufige Suchoperationen erforderlich sind, da sie im Durchschnitt eine Zeitkomplexität von $O(\log n)$ für Suche, Einfügen und Löschen bieten.

Landau Damping ist ein Phänomen in der Plasma- und kinetischen Theorie, das beschreibt, wie Wellen in einem Plasma durch Wechselwirkungen mit den Teilchen des Plasmas gedämpft werden. Es tritt auf, wenn die Energie der Wellen mit der Bewegung der Teilchen im Plasma interagiert, was zu einer Übertragung von Energie von den Wellen zu den Teilchen führt. Anders als bei klassischer Dämpfung, die durch Reibung oder Streuung verursacht wird, entsteht Landau Damping durch die kollektive Dynamik der Teilchen, die sich in einem nicht-thermischen Zustand befinden.

Mathematisch wird Landau Damping häufig durch die Verteilung der Teilchen im Phasenraum beschrieben. Die Dämpfung ist besonders ausgeprägt, wenn die Wellenfrequenz in Resonanz mit der Geschwindigkeit einer Teilchenpopulation steht. Dies kann durch die Beziehung zwischen der Wellenfrequenz $\omega$ und der Teilchengeschwindigkeit $v$ beschrieben werden, wobei die Resonanzbedingung ist:

Hierbei ist $k$ die Wellenzahl. In einem Plasma kann dies dazu führen, dass die Amplitude der Welle exponentiell abnimmt, was zu einer effektiven Dämpfung führt, selbst wenn es keine physikalischen Verluste gibt.