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Price Elasticity

Die Preiselastizität ist ein wirtschaftliches Konzept, das beschreibt, wie empfindlich die Nachfrage nach einem Gut auf Veränderungen des Preises reagiert. Sie wird oft als Verhältnis der prozentualen Änderung der nachgefragten Menge zu der prozentualen Änderung des Preises dargestellt. Mathematisch kann dies durch die Formel ausgedrückt werden:

Ed=%A¨nderung der nachgefragten Menge%A¨nderung des PreisesE_d = \frac{\%\text{Änderung der nachgefragten Menge}}{\%\text{Änderung des Preises}}Ed​=%A¨nderung des Preises%A¨nderung der nachgefragten Menge​

Ein Wert von Ed>1E_d > 1Ed​>1 zeigt eine elastische Nachfrage an, was bedeutet, dass Verbraucher stark auf Preisänderungen reagieren. Im Gegensatz dazu deutet ein Wert von Ed<1E_d < 1Ed​<1 auf eine unelastische Nachfrage hin, wobei die Verbraucher weniger empfindlich auf Preisänderungen reagieren. Wichtige Faktoren, die die Preiselastizität beeinflussen, sind die Verfügbarkeit von Substituten, die Notwendigkeit des Gutes und der Marktzeitraum, in dem die Preisänderung stattfindet.

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Burnside's Lemma Anwendungen

Burnside’s Lemma ist ein wichtiges Werkzeug in der Gruppentheorie und der Kombinatorik, das hilft, die Anzahl der Äquivalenzklassen unter einer Gruppenaktion zu bestimmen. Insbesondere wird es verwendet, um die Anzahl der verschiedenen Objekte zu zählen, die durch Symmetrien oder Transformationen in einer bestimmten Struktur erzeugt werden. Die Grundidee ist, die Wirkung einer Gruppe GGG auf einer Menge XXX zu analysieren, indem man die Fixpunkte der Elemente der Gruppe betrachtet.

Die Formel lautet:

∣X/G∣=1∣G∣∑g∈G∣Xg∣|X/G| = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |X^g|∣X/G∣=∣G∣1​g∈G∑​∣Xg∣

Hierbei ist ∣X/G∣|X/G|∣X/G∣ die Anzahl der Äquivalenzklassen, ∣G∣|G|∣G∣ die Ordnung der Gruppe und ∣Xg∣|X^g|∣Xg∣ die Anzahl der Elemente in XXX, die von der Gruppe ggg unverändert bleiben. Anwendungen finden sich in der Zählung von Symmetrie-Klassen in der Geometrie, beim Zählen von farbigen Objekten oder beim Klassifizieren von Graphen. Burnside’s Lemma ist besonders nützlich, wenn es darum geht, redundante Zählungen durch Symmetrien zu vermeiden.

Strouhal-Zahl

Die Strouhal-Zahl ist eine dimensionslose Kennzahl, die in der Strömungsmechanik und der Aerodynamik verwendet wird, um das Verhältnis zwischen den Inertialkräften und den viskosen Kräften in einem Fluid zu beschreiben. Sie wird definiert als:

St=fLUSt = \frac{f L}{U}St=UfL​

wobei StStSt die Strouhal-Zahl, fff die Frequenz der Schwingung oder der von einem Körper verursachten Wirbelablösung, LLL eine charakteristische Länge des Körpers (z. B. der Durchmesser eines Zylinders) und UUU die Strömungsgeschwindigkeit ist. Diese Zahl ist besonders wichtig bei der Analyse von Strömungen um Körper, die oszillieren oder rotieren, da sie hilft, das Verhalten der Wirbelbildung und des Flusses zu verstehen. Eine hohe Strouhal-Zahl kann auf instabile Strömungsmuster hinweisen, während eine niedrige Zahl oft mit stabilen Strömungen assoziiert wird. In vielen praktischen Anwendungen, wie z. B. bei Flugzeugen oder Schiffen, ist die Strouhal-Zahl entscheidend für das Design und die Effizienz der Fahrzeuge.

Graphen-basierte Feldeffekttransistoren

Graphenbasierte Feldeffekttransistoren (GFETs) sind eine innovative Art von Transistoren, die Graphen als aktives Material verwenden. Graphen ist eine einlagige Struktur aus Kohlenstoffatomen, die in einem zweidimensionalen Gitter angeordnet sind und außergewöhnliche elektrische, thermische und mechanische Eigenschaften aufweisen. GFETs nutzen die hohe Beweglichkeit der Elektronen in Graphen, was zu schnellen Schaltzeiten und geringer Energieverbrauch führt. Diese Transistoren können in verschiedenen Anwendungen eingesetzt werden, darunter in der Hochfrequenztechnik, der Sensorik und in der flexiblen Elektronik. Ein entscheidendes Merkmal von GFETs ist die Möglichkeit, die Leitfähigkeit durch das Anlegen eines elektrischen Feldes an das Graphenmaterial zu steuern, was sie zu einem vielversprechenden Kandidaten für zukünftige Transistor-Entwicklungen macht.

Bayesian-Nash

Der Bayesian Nash-Gleichgewicht ist ein Konzept in der Spieltheorie, das sich mit Situationen beschäftigt, in denen Spieler unvollständige Informationen über die anderen Spieler haben. In einem solchen Spiel hat jeder Spieler eigene private Informationen, die seine Strategiewahl beeinflussen können. Im Gegensatz zum klassischen Nash-Gleichgewicht, bei dem alle Spieler vollständige Informationen haben, berücksichtigt der Bayesian Nash-Gleichgewicht die Unsicherheiten und Erwartungen über die Typen der anderen Spieler.

Ein Spieler wählt seine Strategie, um seinen erwarteten Nutzen zu maximieren, wobei er Annahmen über die Strategien und Typen der anderen Spieler trifft. Mathematisch wird ein Bayesian Nash-Gleichgewicht als ein Profil von Strategien (s1∗,s2∗,…,sn∗)(s_1^*, s_2^*, \ldots, s_n^*)(s1∗​,s2∗​,…,sn∗​) definiert, bei dem für jeden Spieler iii gilt:

Ui(si∗,s−i∗)≥Ui(si,s−i∗)∀siU_i(s_i^*, s_{-i}^*) \geq U_i(s_i, s_{-i}^*) \quad \forall s_iUi​(si∗​,s−i∗​)≥Ui​(si​,s−i∗​)∀si​

Hierbei ist UiU_iUi​ der Nutzen für Spieler iii, s−i∗s_{-i}^*s−i∗​ die Strategien der anderen Spieler und sis_isi​ eine alternative Strategie für Spieler iii.

Hysterese-Effekt

Der Hysterese-Effekt beschreibt das Phänomen, bei dem der Zustand eines Systems von seiner Vorgeschichte abhängt. Dies bedeutet, dass das Verhalten eines Systems nicht nur von den aktuellen Bedingungen, sondern auch von den vorherigen Zuständen beeinflusst wird. Ein klassisches Beispiel ist die Magnetisierung eines ferromagnetischen Materials: Wenn das externe Magnetfeld erhöht und dann wieder verringert wird, bleibt die Magnetisierung nicht auf dem ursprünglichen Niveau, sondern folgt einer anderen Kurve.

Die Hysterese kann in verschiedenen Bereichen beobachtet werden, darunter:

  • Physik: bei magnetischen Materialien und mechanischen Systemen.
  • Ökonomie: wo die Auswirkungen von wirtschaftlichen Schocks auf den Arbeitsmarkt oder die Produktion länger anhalten können, als es die aktuellen Bedingungen vermuten lassen würden.
  • Biologie: bei biologischen Prozessen, wie z.B. der Reaktion von Zellen auf bestimmte Stimuli.

Mathematisch wird der Hysterese-Effekt oft durch eine Hysterese-Schleife dargestellt, die die Beziehung zwischen zwei Variablen beschreibt, wobei die Rückkehr zu einem vorherigen Zustand nicht linear erfolgt.

Lie-Algebra-Kommutatoren

In der Mathematik, insbesondere in der Theorie der Lie-Algebren, sind die Kommutatoren zentrale Elemente, die die Struktur und Eigenschaften der Algebren beschreiben. Ein Kommutator wird definiert für zwei Elemente XXX und YYY einer Lie-Algebra als [X,Y]=XY−YX[X, Y] = XY - YX[X,Y]=XY−YX, wobei das Produkt hier die Verknüpfung in der Algebra darstellt. Die Bedeutung des Kommutators liegt darin, dass er die nicht-abelsche Natur der Lie-Algebra reflektiert, was bedeutet, dass die Reihenfolge der Multiplikation einen Einfluss auf das Ergebnis hat.

Die Eigenschaften der Kommutatoren sind essenziell für die Untersuchung von Symmetrien in der Physik, insbesondere in der Quantenmechanik, wo sie die Beziehung zwischen observablen Größen darstellen. Zudem erfüllen Kommutatoren bestimmte Identitäten, wie die Jacobi-Identität, die für die Struktur der Lie-Algebra entscheidend ist. Insgesamt sind Lie-Algebra-Kommutatoren ein fundamentales Werkzeug, um die algebraischen Strukturen zu analysieren und zu verstehen.