Shannon Entropy Formula

Reynolds Averaging ist ein Verfahren zur Analyse turbulenter Strömungen, das von Osbourne Reynolds eingeführt wurde. Es basiert auf der Idee, dass turbulente Strömungen aus einem zeitlich gemittelten Teil und einem schwankenden Teil bestehen. Mathematisch wird dies durch die Zerlegung der Strömungsgrößen, wie Geschwindigkeit $\mathbf{u}$, in einen Mittelwert $\overline{\mathbf{u}}$ und eine Fluktuation $\mathbf{u}'$ dargestellt, sodass gilt:

Durch diese Zerlegung können die komplexen und chaotischen Eigenschaften turbulenter Strömungen in einfacher zu behandelnde Durchschnittswerte umgewandelt werden. Reynolds Averaging führt zur sogenannten Reynolds-gleichgewichtsgleichung, die zusätzliche Terme, sogenannte Reynolds-Stress-Terme, einführt, um die Wechselwirkungen zwischen den Fluktuationen zu berücksichtigen. Diese Methode ist besonders nützlich in der Strömungsmechanik und der Aerodynamik, da sie die Berechnung von Strömungsfeldern in komplexen Geometrien und unter verschiedenen Randbedingungen erleichtert.

Die chemische Reduktion von Graphenoxid ist ein Prozess, bei dem Graphenoxid (GO) durch chemische Reagenzien in Graphen umgewandelt wird. Dieser Prozess zielt darauf ab, die funktionellen Gruppen, die in GO vorhanden sind, zu entfernen, was zu einer Wiederherstellung der elektrischen und strukturellen Eigenschaften von Graphen führt. Zu den häufig verwendeten Reduktionsmitteln zählen Hydrazin, Natrium-Borhydrid und Vitamin C.

Die chemische Reduktion kann sowohl in Lösung als auch in Feststoffform durchgeführt werden, wobei die Reaktionsbedingungen wie Temperatur und pH-Wert entscheidend sind. Durch diese Reduktion wird die Leitfähigkeit des Materials verbessert und die mechanischen Eigenschaften erhöht. Der gesamte Prozess kann in der Form einer chemischen Gleichung dargestellt werden, wobei das Hauptaugenmerk auf der Umwandlung von funktionellen Gruppen liegt:

Insgesamt ist die chemische Reduktion von Graphenoxid ein entscheidender Schritt zur Herstellung von funktionsfähigem Graphen für verschiedene Anwendungen in der Elektronik, Energiespeicherung und Nanotechnologie.

Eine Pigovian Tax ist eine Steuer, die eingeführt wird, um negative externe Effekte von wirtschaftlichen Aktivitäten zu internalisieren. Diese Steuer zielt darauf ab, die Kosten, die durch externe Effekte wie Umweltverschmutzung entstehen, auf die Verursacher zu übertragen. Beispielsweise könnte eine Steuer auf CO2-Emissionen erhoben werden, um die Unternehmen zu Anreizen zu bewegen, umweltfreundlichere Technologien zu entwickeln.

Die Idee hinter dieser Steuer ist, dass der Preis eines Gutes die gesellschaftlichen Kosten widerspiegeln sollte, was durch die Formel $P = C + E$ (wobei $P$ der Preis, $C$ die privaten Kosten und $E$ die externen Kosten sind) verdeutlicht wird. Dadurch wird der Verbrauch von schädlichen Gütern verringert und die Ressourcenallokation effizienter gestaltet. Insgesamt kann eine Pigovian Tax dazu beitragen, das gesellschaftliche Wohlergehen zu maximieren und gleichzeitig umweltfreundliche Praktiken zu fördern.

Physics-Informed Neural Networks (PINNs) sind eine innovative Methode zur Lösung von Differentialgleichungen, die in vielen physikalischen und ingenieurtechnischen Anwendungen vorkommen. Sie kombinieren die Leistungsfähigkeit neuronaler Netzwerke mit physikalischen Gesetzen, indem sie die zugrunde liegenden physikalischen Prinzipien in den Lernprozess integrieren. Dies geschieht, indem man die Verlustfunktion des Netzwerks um einen zusätzlichen Term erweitert, der die Residuen der Differentialgleichungen misst, was bedeutet, dass das Netzwerk nicht nur die Daten lernt, sondern auch die physikalischen Gesetze berücksichtigt.

Mathematisch formuliert wird dabei häufig eine Verlustfunktion wie folgt definiert:

Hierbei steht $L_{\text{data}}$ für die Verlustfunktion, die auf den Trainingsdaten basiert, während $L_{\text{physics}}$ die Abweichung von den physikalischen Gleichungen misst. Der Parameter $\lambda$ gewichtet die Bedeutung der physikalischen Informationen im Vergleich zu den Daten. Durch diese Herangehensweise erhalten PINNs eine verbesserte Generalisierungsfähigkeit und können auch in Bereichen eingesetzt werden, in denen nur begrenzte Daten vorhanden sind.

Das Nyquist-Sampling-Theorem ist ein fundamentales Konzept in der Signalverarbeitung, das besagt, dass ein kontinuierliches Signal vollständig rekonstruiert werden kann, wenn es mit einer Frequenz abgetastet wird, die mindestens doppelt so hoch ist wie die maximale Frequenzkomponente des Signals. Diese kritische Abtastfrequenz wird als Nyquist-Frequenz bezeichnet und ist definiert als $f_s = 2f_{max}$, wobei $f_s$ die Abtastfrequenz und $f_{max}$ die höchste Frequenz im Signal ist. Wenn das Signal nicht mit dieser Mindestfrequenz abgetastet wird, kann es zu einem Phänomen kommen, das als Aliasing bekannt ist, bei dem höhere Frequenzen als niedrigere Frequenzen interpretiert werden. Um eine präzise Rekonstruktion des Signals sicherzustellen, ist es also wichtig, die Abtastfrequenz entsprechend zu wählen. Dieses Theorem ist nicht nur in der digitalen Signalverarbeitung von Bedeutung, sondern hat auch weitreichende Anwendungen in der Telekommunikation und der Audioverarbeitung.

Machine Learning Regression ist ein Teilbereich des maschinellen Lernens, der sich mit der Vorhersage kontinuierlicher Werte beschäftigt. Dabei wird ein Modell trainiert, um die Beziehung zwischen einer oder mehreren unabhängigen Variablen (Features) und einer abhängigen Variable (Zielgröße) zu erfassen. Die häufigsten Algorithmen für die Regression sind lineare Regression, polynomiale Regression und Entscheidungsbaum-Regression.

Das Ziel ist es, eine Funktion $f(x)$ zu finden, die die Eingabedaten $x$ so abbildet, dass die Vorhersage $y$ so genau wie möglich ist. Dies geschieht in der Regel durch Minimierung eines Fehlers, häufig gemessen durch die mittlere quadratische Abweichung (MSE):

Hierbei ist $n$ die Anzahl der Datenpunkte, $y_i$ der tatsächliche Wert und $f(x_i)$ der vorhergesagte Wert. Durch optimierte Algorithmen wie Gradient Descent wird das Modell kontinuierlich verbessert, um genauere Vorhersagen zu ermöglichen.