Functional Brain Networks

Topologische kristalline Isolatoren (TKI) sind eine faszinierende Klasse von Materialien, die sowohl Eigenschaften von Isolatoren als auch von topologischen Materialien aufweisen. Sie zeichnen sich durch ihre robusten Oberflächenzustände aus, die durch die Symmetrie des Kristallgitters des Materials geschützt sind. Dies bedeutet, dass diese Oberflächenzustände gegen Störungen wie Unreinheiten oder Defekte resistent sind, solange die Symmetrie nicht gebrochen wird.

Die elektronische Struktur eines TKI kann durch topologische Invarianten charakterisiert werden, die sich aus der Bandstruktur des Materials ergeben. Ein wichtiges Konzept in diesem Zusammenhang ist die Rolle von spinsplitten Zuständen, die die Elektronen an den Oberflächen des Materials stabilisieren. Diese Eigenschaften machen TKI vielversprechend für zukünftige Anwendungen in der Spintronik und der Quantencomputing-Technologie, da sie die Grundlage für neuartige elektronische Geräte bieten können, die weniger Energie verbrauchen und schneller arbeiten als herkömmliche Technologien.

Der Begriff Graph Isomorphism bezieht sich auf die Beziehung zwischen zwei Graphen, bei der es eine Eins-zu-eins-Zuordnung der Knoten eines Graphen zu den Knoten eines anderen Graphen gibt, sodass die Struktur beider Graphen identisch bleibt. Das bedeutet, dass, wenn zwei Graphen isomorph sind, sie die gleiche Anzahl von Knoten und Kanten besitzen und die Verbindungen zwischen den Knoten (die Kanten) gleich sind, nur die Benennung der Knoten kann unterschiedlich sein. Mathematisch ausgedrückt, sind zwei Graphen $G_1 = (V_1, E_1)$ und $G_2 = (V_2, E_2)$ isomorph, wenn es eine bijektive Funktion $f: V_1 \to V_2$ gibt, sodass für alle $u, v \in V_1$ gilt:

Das Problem des Graph-Isomorphismus ist von großer Bedeutung in verschiedenen Bereichen, einschließlich der Chemie, wo die Struktur von Molekülen als Graphen dargestellt werden kann, und in der Informatik, insbesondere in der Komplexitätstheorie. Trotz seines scheinbar einfachen Charakters ist es bisher nicht bekannt

Das Binomial Pricing ist ein Modell zur Bewertung von Finanzderivaten, insbesondere Optionen. Es basiert auf der Annahme, dass der Preis eines Basiswerts in diskreten Zeitintervallen entweder steigt oder fällt, wodurch ein binomialer Baum entsteht. In jedem Schritt des Modells wird der Preis des Basiswerts um einen bestimmten Faktor $u$ (bei Anstieg) und um einen anderen Faktor $d$ (bei Fall) verändert.

Die Wahrscheinlichkeiten für den Anstieg und den Fall werden oft als $p$ und $1-p$ definiert. Um den aktuellen Wert einer Option zu berechnen, wird die erwartete Auszahlung in der Zukunft unter Berücksichtigung dieser Wahrscheinlichkeiten diskontiert. Der Vorteil des Binomialmodells liegt in seiner Flexibilität, da es für verschiedene Arten von Optionen und sogar für komplizierte Derivate angewendet werden kann. In der Praxis wird das Modell häufig genutzt, um den Preis von europäischen und amerikanischen Optionen zu bestimmen.

Computational Fluid Dynamics (CFD) ist ein Bereich der Strömungsmechanik, der sich mit der numerischen Analyse von Flüssigkeiten und Gasen beschäftigt. Turbulenz ist ein komplexes Phänomen, das in vielen praktischen Anwendungen vorkommt, wie z.B. in der Luftfahrt, der Automobilindustrie und der Umwelttechnik. Sie zeichnet sich durch chaotische Strömungsmuster und hohe Energieverluste aus, was die Modellierung und Simulation erheblich erschwert.

Um Turbulenz in CFD zu simulieren, werden häufig verschiedene Modelle eingesetzt, darunter:

• Reynolds-zeitlich gemittelte Navier-Stokes-Gleichungen (RANS): Diese vereinfachen die Problematik, indem sie zeitlich gemittelte Werte verwenden.
• Groß- oder Direkte Strömungssimulationen (LES, DNS): Diese bieten detailliertere Ergebnisse, erfordern jedoch erheblich mehr Rechenressourcen.

Die Herausforderung besteht darin, die Skalen von Turbulenz präzise zu erfassen, da sie von mikroskopischen bis zu makroskopischen Dimensionen reichen. In der mathematischen Darstellung wird Turbulenz oft durch die Gleichung des Impulses beschrieben, die die Wechselwirkungen zwischen Druck, Viskosität und Beschleunigung berücksichtigt.

Der Josephson-Effekt beschreibt das Phänomen, das auftritt, wenn zwei supraleitende Materialien durch eine dünne isolierende Schicht voneinander getrennt sind. In diesem Zustand können Elektronenpaare, die als Cooper-Paare bekannt sind, durch die Isolatorschicht tunneln, ohne eine elektrische Spannung anlegen zu müssen. Dies führt zu einem stromlosen Zustand, in dem eine supraleitende Phase über die Isolationsschicht hinweg erhalten bleibt. Der Effekt wird häufig in der Quantenmechanik und in der Entwicklung von Quantencomputern sowie präzisen Messgeräten verwendet. Die Beziehung zwischen der Phase der supraleitenden Wellenfunktion und dem Strom kann durch die Gleichung

beschrieben werden, wobei $I$ der Tunnelstrom, $I_c$ der kritische Strom und $\phi$ die Phasendifferenz zwischen den beiden Supraleitern ist. Der Josephson-Effekt ist ein zentrales Prinzip in vielen modernen Technologien, einschließlich der Entwicklung von sogenannten Josephson-Junctions, die in verschiedenen Anwendungen von der Quanteninformationsverarbeitung bis zur hochpräzisen Magnetfeldmessung eingesetzt werden.

Die Phillips-Kurve beschreibt die inverse Beziehung zwischen Inflation und Arbeitslosigkeit in einer Volkswirtschaft. Mit der Einführung von Erwartungen in dieses Modell hat sich das Verständnis der Phillips-Kurve verändert. Phillips Curve Expectations beziehen sich darauf, wie die Erwartungen der Menschen bezüglich zukünftiger Inflation die tatsächlichen wirtschaftlichen Bedingungen beeinflussen können. Wenn die Menschen beispielsweise eine hohe Inflation erwarten, werden sie möglicherweise höhere Löhne fordern, was zu einer steigenden Inflation führt.

Mathematisch kann die Beziehung durch die Gleichung dargestellt werden:

Hierbei ist $\pi_t$ die tatsächliche Inflation, $\pi^e_t$ die erwartete Inflation, $u_t$ die tatsächliche Arbeitslosigkeit und $u_n$ die natürliche Arbeitslosigkeit. Diese Erweiterung der Phillips-Kurve zeigt, dass die Erwartungen der Wirtschaftsteilnehmer eine entscheidende Rolle spielen, da sie die kurzfristige Stabilität zwischen Inflation und Arbeitslosigkeit beeinflussen können.