StudierendeLehrende

Banach Fixed-Point Theorem

Das Banach Fixed-Point Theorem, auch bekannt als das kontraktive Fixpunkttheorem, besagt, dass jede kontraktive Abbildung in einem vollständigen metrischen Raum genau einen Fixpunkt hat. Ein Fixpunkt xxx einer Abbildung TTT ist ein Punkt, der die Bedingung T(x)=xT(x) = xT(x)=x erfüllt. Die Bedingung der Kontraktivität bedeutet, dass es eine Konstante 0≤k<10 \leq k < 10≤k<1 gibt, sodass für alle x,yx, yx,y im Raum gilt:

d(T(x),T(y))≤k⋅d(x,y)d(T(x), T(y)) \leq k \cdot d(x, y)d(T(x),T(y))≤k⋅d(x,y)

Hierbei ist ddd die Distanzfunktion im metrischen Raum. Das Theorem ist besonders wichtig in der Analysis und in der Lösung von Differentialgleichungen, da es nicht nur die Existenz eines Fixpunkts garantiert, sondern auch einen Algorithmus zur Annäherung an diesen Fixpunkt beschreibt, indem wiederholt die Abbildung TTT auf einen Startwert angewendet wird.

Weitere verwandte Begriffe

contact us

Zeit zu lernen

Starte dein personalisiertes Lernelebnis mit acemate. Melde dich kostenlos an und finde Zusammenfassungen und Altklausuren für deine Universität.

logoVerwandle jedes Dokument in ein interaktives Lernerlebnis.
Antong Yin

Antong Yin

Co-Founder & CEO

Jan Tiegges

Jan Tiegges

Co-Founder & CTO

Paul Herman

Paul Herman

Co-Founder & CPO

© 2025 acemate UG (haftungsbeschränkt)  |   Nutzungsbedingungen  |   Datenschutzerklärung  |   Impressum  |   Jobs   |  
iconlogo
Einloggen

Aktuator-Sättigung

Actuator Saturation bezeichnet den Zustand, in dem ein Aktuator (z. B. Motor oder Hydraulikzylinder) seine maximalen oder minimalen Betriebsgrenzen erreicht und nicht mehr in der Lage ist, das gewünschte Signal oder die gewünschte Bewegung auszuführen. In diesem Zustand kann der Aktuator nicht mehr proportional auf Steuerbefehle reagieren, was zu einer Verzerrung der Systemleistung führt.

Diese Sättigung kann in verschiedenen Systemen auftreten, wie zum Beispiel in Regelkreisen, wo die Eingabe über die physikalischen Grenzen des Aktuators hinausgeht. Wenn der Aktuator gesättigt ist, kann dies zu Schwankungen oder Instabilität im System führen, da die Regelung nicht mehr effektiv arbeiten kann. In mathematischen Modellen wird dies häufig durch die Verwendung von Funktionen dargestellt, die die Begrenzungen des Aktuators berücksichtigen, wie zum Beispiel:

usat={uwenn ∣u∣<umaxumaxwenn u>umaxuminwenn u<uminu_{\text{sat}} = \begin{cases} u & \text{wenn } |u| < u_{\text{max}} \\ u_{\text{max}} & \text{wenn } u > u_{\text{max}} \\ u_{\text{min}} & \text{wenn } u < u_{\text{min}} \end{cases}usat​=⎩⎨⎧​uumax​umin​​wenn ∣u∣<umax​wenn u>umax​wenn u<umin​​

Hierbei ist uuu das Steuersignal, während $ u_{\text

Pauli-Ausschlussprinzip

Das Pauli-Prinzip, auch bekannt als Pauli-Ausschlussprinzip, ist ein fundamentales Konzept der Quantenmechanik, das besagt, dass zwei fermionische Teilchen (z. B. Elektronen) nicht denselben quantenmechanischen Zustand einnehmen können. Dies bedeutet konkret, dass in einem Atom keine zwei Elektronen denselben Satz quantenmechanischer Zahlen haben dürfen. Die quantenmechanischen Zahlen umfassen unter anderem den Hauptquantenzahl nnn, den Nebenquantenzahl lll, den magnetischen Quantenzahl mmm und den Spin sss.

Das Pauli-Prinzip ist ausschlaggebend für die Struktur von Atomen und Molekülen, da es die Anordnung der Elektronen in verschiedenen Energieniveaus bestimmt und somit die chemischen Eigenschaften eines Elements beeinflusst. Diese Regel führt dazu, dass Elektronen in einem Atom auf verschiedene Energieniveaus verteilt werden, was die Stabilität und die chemische Reaktivität von Atomen erklärt.

Slutsky-Gleichung

Die Slutsky-Gleichung ist eine fundamentale Beziehung in der Mikroökonomie, die die Auswirkungen von Preisänderungen auf die Nachfrage nach Gütern beschreibt. Sie zerlegt die Gesamtwirkung einer Preisänderung in zwei Komponenten: den Substitutionseffekt und den Einkommenseffekt. Der Substitutionseffekt zeigt, wie sich die Nachfrage nach einem Gut ändert, wenn der Preis sinkt und der Konsument zu diesem Gut substituiert, während der Einkommenseffekt zeigt, wie sich die Nachfrage ändert, weil sich das reale Einkommen des Konsumenten aufgrund der Preisänderung verändert.

Mathematisch wird die Slutsky-Gleichung wie folgt ausgedrückt:

∂xi∂pj=∂hi∂pj−xj∂xi∂m\frac{\partial x_i}{\partial p_j} = \frac{\partial h_i}{\partial p_j} - x_j \frac{\partial x_i}{\partial m}∂pj​∂xi​​=∂pj​∂hi​​−xj​∂m∂xi​​

Hierbei steht xix_ixi​ für die nachgefragte Menge des Gutes iii, pjp_jpj​ für den Preis des Gutes jjj und mmm für das Einkommen des Konsumenten. Die Gleichung verdeutlicht, dass die Veränderung der Nachfrage nach Gut iii bezüglich der Preisänderung von Gut jjj sowohl von der Veränderung der optimalen Nachfrage als auch von der Veränderung des Einkommens abhängt. Die Slutsky

Sparsame Matrixspeicherung

Sparse Matrix Storage bezieht sich auf Techniken zur effizienten Speicherung von Matrizen, in denen die meisten Elemente Null sind. Solche Matrizen treten häufig in verschiedenen Anwendungen auf, wie z.B. in der Graphentheorie oder in numerischen Simulationen. Um Speicherplatz zu sparen und die Rechenleistung zu optimieren, werden verschiedene Datenstrukturen verwendet, um nur die nicht-null Elemente zu speichern. Zu den gängigsten Methoden gehören:

  • Compressed Sparse Row (CSR): Speichert die Werte der nicht-null Elemente, die Spaltenindizes und die Zeilenzeiger in separaten Arrays.
  • Compressed Sparse Column (CSC): Ähnlich wie CSR, jedoch werden die Daten nach Spalten anstatt nach Zeilen organisiert.
  • Coordinate List (COO): Speichert jedes nicht-null Element zusammen mit seinen Zeilen- und Spaltenindizes in einer Liste.

Diese Methoden verringern den Speicherbedarf erheblich und verbessern die Effizienz bei Operationen wie Matrixmultiplikation.

Pll-Verriegelung

PLL Locking bezieht sich auf den Prozess, bei dem ein Phasenregelschleifen (Phase-Locked Loop, PLL) synchronisiert wird, um die Ausgangsfrequenz mit einer Referenzfrequenz zu verbinden. Dies geschieht normalerweise in Kommunikationssystemen oder zur Frequenzsynthese, wo es wichtig ist, dass die Ausgangssignale stabil und präzise sind. Der PLL besteht aus drei Hauptkomponenten: einem Phasendetektor, einem Tiefpassfilter und einem spannungsgesteuerten Oszillator (VCO).

Wenn der Phasendetektor eine Phasenabweichung zwischen dem Ausgang und der Referenz erkennt, passt der Tiefpassfilter die Steuerspannung an, um den VCO so zu justieren, dass die Frequenzen in Einklang kommen. Wenn die PLL "locked" ist, sind die Frequenzen stabil und die Phasenabweichung bleibt innerhalb eines akzeptablen Bereichs. Dies wird oft in Anwendungen wie Frequenzmodulation, Uhren-Synchronisation und Datenübertragung verwendet, um die Signalqualität zu gewährleisten.

Granger-Kausalität

Die Granger-Kausalität ist ein statistisches Konzept, das verwendet wird, um zu bestimmen, ob eine Zeitreihe eine andere beeinflussen kann. Es basiert auf der Annahme, dass, wenn eine Zeitreihe XXX Granger-kausal für eine andere Zeitreihe YYY ist, dann sollte das Hinzufügen von Informationen über XXX die Vorhersage von YYY verbessern. Mathematisch wird dies durch den Vergleich der Vorhersagegenauigkeit von YYY unter zwei Modellen untersucht: einem, das nur die Vergangenheit von YYY betrachtet, und einem anderen, das zusätzlich die Vergangenheit von XXX einbezieht.

Ein typisches Verfahren zur Überprüfung der Granger-Kausalität ist der Granger-Test, der häufig in der Ökonometrie eingesetzt wird. Es ist wichtig zu beachten, dass Granger-Kausalität keine wahre Kausalität bedeutet; sie zeigt lediglich, dass es eine zeitliche Abfolge gibt, die auf einen möglichen Einfluss hindeutet. Daher sollte man bei der Interpretation der Ergebnisse stets vorsichtig sein und weitere Analysen durchführen, um tatsächliche kausale Beziehungen zu bestätigen.