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Van Hove Singularity

Die Van Hove Singularity ist ein Konzept aus der Festkörperphysik, das sich auf spezielle Punkte im Energiediagramm von Materialien bezieht, wo die Dichte der Zustände (DOS) divergiert. Diese Singularitäten treten auf, wenn die Energie eines Systems bei bestimmten Wellenvektoren kkk eine kritische Bedingung erreicht, die oft mit der Bragg-Reflexion in Kristallen zusammenhängt. Mathematisch wird die Dichte der Zustände durch die Beziehung zwischen der Energie EEE und dem Wellenvektor kkk beschrieben, wobei die Singularität typischerweise bei den Übergängen zwischen verschiedenen Phasen oder bei Bandübergängen auftritt.

Die Van Hove Singularitäten sind von großer Bedeutung, da sie das Verhalten von Elektronen in Festkörpern beeinflussen und damit Eigenschaften wie die elektronische Leitfähigkeit oder magnetische Eigenschaften eines Materials maßgeblich bestimmen können. In der Praxis führen diese Singularitäten oft zu verstärkten physikalischen Effekten, wie z.B. einer erhöhten Wahrscheinlichkeit für Phasenübergänge oder für die Ausbildung von Korrelationseffekten in stark wechselwirkenden Systemen.

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Kalman-Filterung in der Robotik

Kalman-Filter sind eine leistungsstarke Methode zur Schätzung des Zustands eines dynamischen Systems in der Robotik. Sie kombinieren Messungen von Sensoren mit Modellen der Fahrzeugbewegung, um präzisere Schätzungen der Position und Geschwindigkeit zu liefern. Der Filter arbeitet in zwei Hauptschritten: dem Vorhersageschritt, in dem der zukünftige Zustand basierend auf dem aktuellen Zustand und dem Bewegungsmodell geschätzt wird, und dem Aktualisierungsschritt, in dem die Schätzung mit den neuen Messdaten aktualisiert wird. Mathematisch wird die Schätzung durch die Gleichungen:

x^k∣k−1=Fkx^k−1∣k−1+Bkuk\hat{x}_{k|k-1} = F_k \hat{x}_{k-1|k-1} + B_k u_kx^k∣k−1​=Fk​x^k−1∣k−1​+Bk​uk​

und

x^k∣k=x^k∣k−1+Kk(zk−Hkx^k∣k−1)\hat{x}_{k|k} = \hat{x}_{k|k-1} + K_k (z_k - H_k \hat{x}_{k|k-1})x^k∣k​=x^k∣k−1​+Kk​(zk​−Hk​x^k∣k−1​)

definiert, wobei x^\hat{x}x^ die Schätzung, FFF die Übergangsmatrix, BBB die Steuerungsmatrix, KKK die Kalman-Verstärkung, zzz die Messung und HHH die Beobachtungsmatrix darstellt. Durch die Verwendung des Kalman-Filters können Roboter ihre Position und Orientierung in Echt

Adaptive Erwartungen

Adaptive Expectations ist ein Konzept in der Wirtschaftswissenschaft, das beschreibt, wie Individuen und Unternehmen ihre Erwartungen über zukünftige wirtschaftliche Variablen, wie beispielsweise Inflation oder Einkommen, auf der Grundlage vergangener Erfahrungen anpassen. Die Grundannahme ist, dass Menschen ihre Erwartungen nicht sofort, sondern schrittweise aktualisieren, indem sie vergangene Informationen berücksichtigen.

Mathematisch kann dies durch die folgende Gleichung dargestellt werden:

Et(Y)=Et−1(Y)+α(Yt−Et−1(Y))E_t(Y) = E_{t-1}(Y) + \alpha (Y_t - E_{t-1}(Y))Et​(Y)=Et−1​(Y)+α(Yt​−Et−1​(Y))

Hierbei ist Et(Y)E_t(Y)Et​(Y) die erwartete Größe zum Zeitpunkt ttt, YtY_tYt​ der tatsächliche Wert und α\alphaα ein Anpassungsparameter zwischen 0 und 1, der angibt, wie stark die Erwartungen angepasst werden.

Diese Theorie impliziert, dass Erwartungen in der Regel träge sind und oft hinter den tatsächlichen Entwicklungen zurückbleiben, was zu Verzögerungen in wirtschaftlichen Reaktionen führen kann. Adaptive Expectations sind besonders relevant in der Diskussion um die Phillips-Kurve, die den Zusammenhang zwischen Inflation und Arbeitslosigkeit beschreibt.

Leontief-Paradoxon

Das Leontief Paradox beschreibt ein unerwartetes Ergebnis in der internationalen Handelsökonomie, das von dem Ökonomen Wassily Leontief in den 1950er Jahren festgestellt wurde. Leontief untersuchte die Handelsströme der USA und erwartete, dass das Land, das reich an Kapital ist, hauptsächlich kapitalintensive Produkte exportieren und arbeitsintensive Produkte importieren würde. Überraschenderweise stellte er fest, dass die USA überwiegend arbeitsintensive Güter exportierten, während sie kapitalintensive Güter importierten. Dieses Ergebnis widerspricht dem Heckscher-Ohlin-Modell, das voraussagt, dass Länder gemäß ihrer Faktorausstattung (Kapital und Arbeit) handeln. Leontiefs Ergebnisse führten zu einer intensiven Debatte über die Determinanten des internationalen Handels und der Faktorausstattung, was die Komplexität der globalen Wirtschaft verdeutlicht.

Euler-Lagrange

Die Euler-Lagrange-Gleichung ist ein fundamentales Konzept in der Variationsrechnung, das zur Ableitung der Bewegungsgleichungen in der klassischen Mechanik verwendet wird. Sie beschreibt, wie man die Funktion L(q,q˙,t)L(q, \dot{q}, t)L(q,q˙​,t), die als Lagrangian bezeichnet wird, minimieren kann, um die Trajektorien eines Systems zu bestimmen. Hierbei steht qqq für die generalisierten Koordinaten, q˙\dot{q}q˙​ für die Zeitableitung dieser Koordinaten und ttt für die Zeit.

Die allgemeine Form der Euler-Lagrange-Gleichung lautet:

ddt(∂L∂q˙)−∂L∂q=0\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0dtd​(∂q˙​∂L​)−∂q∂L​=0

Diese Gleichung stellt sicher, dass die Variation der Wirkung S=∫L dtS = \int L \, dtS=∫Ldt extrem ist, was bedeutet, dass die physikalischen Bahnen eines Systems die Extremalwerte der Wirkung annehmen. Die Anwendung der Euler-Lagrange-Gleichung ist ein mächtiges Werkzeug, um die Dynamik komplexer Systeme zu analysieren, insbesondere wenn die Kräfte nicht direkt bekannt sind.

Modellprädiktive Regelung Kostenfunktion

Die Cost Function (Kostenfunktion) in der modellprädiktiven Regelung (Model Predictive Control, MPC) ist ein zentrales Element, das die Qualität der Steuerung bewertet. Sie quantifiziert die Abweichungen zwischen den gewünschten und den tatsächlichen Systemzuständen über einen definierten Zeitrahmen. Die allgemeine Form der Kostenfunktion kann wie folgt dargestellt werden:

J=∑k=0N(xkTQxk+ukTRuk)J = \sum_{k=0}^{N} \left( x_k^T Q x_k + u_k^T R u_k \right)J=k=0∑N​(xkT​Qxk​+ukT​Ruk​)

Hierbei ist JJJ die Gesamtkosten, NNN der Planungs-Horizont, xkx_kxk​ der Zustand des Systems zum Zeitpunkt kkk, uku_kuk​ die Steuergröße und QQQ sowie RRR sind Gewichtungsmatrizen, die die relative Bedeutung der Zustände und Steuerungen festlegen. Ziel der MPC ist es, die Steuerung so zu optimieren, dass die Kostenfunktion minimiert wird, wodurch das System stabilisiert und die gewünschten Leistungsmerkmale erreicht werden. Durch die Anpassung der Parameter in der Kostenfunktion können verschiedene Betriebsziele, wie beispielsweise Energieeffizienz oder Reaktionsgeschwindigkeit, priorisiert werden.

Ehrenfest-Theorem

Das Ehrenfest Theorem ist ein zentrales Resultat in der Quantenmechanik, das den Zusammenhang zwischen klassischer und quantenmechanischer Beschreibung von Systemen beschreibt. Es besagt, dass die Zeitentwicklung der Erwartungswerte von Observablen in der Quantenmechanik den klassischen Bewegungsgleichungen ähnelt. Formal wird dies ausgedrückt durch die Gleichung:

ddt⟨A⟩=1iℏ⟨[A,H]⟩+⟨∂A∂t⟩\frac{d}{dt} \langle A \rangle = \frac{1}{i\hbar} \langle [A, H] \rangle + \langle \frac{\partial A}{\partial t} \rangledtd​⟨A⟩=iℏ1​⟨[A,H]⟩+⟨∂t∂A​⟩

wobei ⟨A⟩\langle A \rangle⟨A⟩ der Erwartungswert der Observable AAA, HHH der Hamiltonoperator und [A,H][A, H][A,H] der Kommutator von AAA und HHH ist. Das Theorem zeigt, dass die Zeitentwicklung der Erwartungswerte von Position und Impuls den klassischen Gesetzen folgt, wenn man die entsprechenden klassischen Variablen betrachtet. Dies schafft eine Brücke zwischen der Quantenmechanik und der klassischen Mechanik und verdeutlicht, wie quantenmechanische Systeme im Durchschnitt klassisches Verhalten zeigen können.